7. Две прямые пересекаются в точке М. Докажите, что все прямые, не проходящие через точку М и пересекающие данные прямые, лежат в одной плоскости. Лежат ли в одной плоскости все прямые, проходящие через точку М?

Введение → номер 7

Пусть l1 ∩ l2 = M; n — произвольная прямая, М ∉ n и n пересекает l1и l2 в точках А и K, значит, через т. А и прямую l2 можно провести единственную плоскость (по теореме п. 3). Поэтому отрезки АМ, AK и KM лежат в одной плоскости (по аксиоме А2 п. 2), и прямые, которым принадлежат эти отрезки, лежат в одной плоскости.

Все прямые, проходящие через т. М, не лежат в одной плоскости. Если в теореме п. 3 речь идет только о двух пересекающихся прямых, через которые проходит единственная плоскость. Если прямых несколько, то утверждение неверно.

Например:

L3 пересекает пл. α, но М ∈ l3 Ответ: нет.