775. Докажите, что сумма квадратов расстояний от вершин куба до прямой, проходящей через его центр, не зависит от положения этой прямой

Задачи повышенной трудности → номер 775

Пусть A1A2…A8 — данный куб с ребром а, р — прямая, проходящая через его центр О,

Так как

То

Если

А х, у —

Координаты в системе с осями А1А2 и А1А4, то

По теореме косинусов из ΔOPAi имеем

Где

Причем

Приравняв выражения для

Получим из найденных

Равенств:

Отсюда после вычислений получаем:

Тогда из (1)

Таким образом, s не зависит от положения прямой р.