Дополнительные задачи к главе I Параллельность прямых и плоскостей. → номер 105 А) Договоримся, что MN не параллельна ВС. Продолжим MN до пересечения с продолжением ВС в точке О. В плоскости АВС соединим точки О и K; OK пересечет ребро АС в точке Е; продолжим отрезок OK …
Подробнее…
Archive for марта, 2013
105. Изобразите тетраэдр DABС и отметьте точки М и N на ребрах BD и CD и внутреннюю точку К грани ABC. Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNK
106. Изобразите тетраэдр DABС, отметьте точку К на ребре DC и точки М и N граней ABC и ACD. Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNK
Дополнительные задачи к главе I Параллельность прямых и плоскостей. → номер 106 Пусть точки расположены так, как показано на рисунке. 1. Проводим KN до пересечения с продолжением ребра СА. Пусть KN пересечет СА в точке О. 2. Проводим луч ОМ; он пересечет ребро АВ в точке Е, …
Подробнее…
107. Изобразите тетраэдр ABCD и отметьте точку М на ребре АВ. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М параллельно грани BDC
Дополнительные задачи к главе I Параллельность прямых и плоскостей. → номер 107 Проведем MK || BC и MN || BD; отрезок KN. По теореме п. 10 пл. MNK || пл. BDC (так как две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости).
108*. В тетраэдре DABC биссектрисы трех углов при вершине D пересекают отрезки ВС, СА и АВ соответственно в точках А1, В1 и C1. Докажите, что отрезки АА1, ВВ1 и CC1 пересекаются в одной точке
Дополнительные задачи к главе I Параллельность прямых и плоскостей. → номер 108 108*. В тетраэдре DABC биссектрисы трех углов при вершине D пересекают отрезки ВС, СА и АВ соответственно в точках А1, В1 и C1. Докажите, что отрезки АА1, ВВ1 и CC1 пересекаются в одной точке. Отложим …
Подробнее…
109. Две плоскости, каждая из которых содержит два боковых ребра параллелепипеда, не принадлежащих одной грани, пересекаются по прямой а. Докажите, что прямая а параллельна боковым ребрам параллелепипеда и пересекает все его диагонали
Дополнительные задачи к главе I Параллельность прямых и плоскостей. → номер 109 Доказательство 1. По условию, искомая прямая а есть линия пересечения двух плоскостей: АА1С1С и ВВ1D1D. 2. Проведем диагонали оснований параллелепипеда; они пересекаются в т. О1 и т. О. 3. Т. О1 принадлежит тем же плоскостям. …
Подробнее…
110. Докажите, что в параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 плоскость A1DB параллельна плоскости D1CB1
Дополнительные задачи к главе I Параллельность прямых и плоскостей. → номер 110 Доказательство 1. Рассмотрим 4-угольник BB1D1D. По признаку параллелограмма, BB1D1D — параллелограмм, B1D1 || BD. 2. Рассмотрим 4-угольник CB1A1D. Следовательно, CB1A1D — па Раллелограмм. 3. Пл. CB1D1 || пл. A1DB (параллельность двух пересе Кающихся прямых одной …
Подробнее…
111. Докажите, что диагональ параллелепипеда меньше суммы трех ребер, имеющих общую вершину
Дополнительные задачи к главе I Параллельность прямых и плоскостей. → номер 111 Проведем отрезок АС; по неравенству треугольника Для Поэтому Что и требовалось доказать.
112. Докажите, что сумма квадратов четырех диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов двенадцати его ребер
Дополнительные задачи к главе I Параллельность прямых и плоскостей. → номер 112 Будем исходить из того, что диагональное сечение параллелепипеда — параллелограмм. Решим вспомогательную задачу: установим зависимость между сторонами параллелограмма и его диагоналями. Для A DAB запишем теорему косинусов: Для ΔADC запишем теорему косинусов: Складывая эти равенства, …
Подробнее…
113. По какой прямой пересекаются плоскости сечений A1BCD1 и BDD1B1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1?
Дополнительные задачи к главе I Параллельность прямых и плоскостей. → номер 113 В и D1 — общие точки двух плоскостей, по аксиоме А3 плоскости пересекаются по прямой BD1.
114. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и отметьте на ребре АВ точку М. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку М параллельно плоскости АСС1
Дополнительные задачи к главе I Параллельность прямых и плоскостей. → номер 114 Построим MN || AC. По теореме I, MN || пл. АСС1. Построим ML || AA1 и NK || AA1; получили отрезок LK. По теореме п. 10