Решение

Применим координатно-векторный метод (необходимый теоретический материал см. в статье Решение стереометрических задач повышенной трудности (координатно-векторный метод))

Пусть AC={a,0}, AB={b,c} (так обозначаем координаты векторов), тогда

CB=AB-AC={b-a,c}=>

Из условий задачи |AB|=|BC| => b^2+c^2=(b-a)^2+c^2=> b^2=(b-a)^2 => b=a/2 => b-a=-a/2

=> CB={-a/2,c}, AB={a/2,c}

Из условий задачи CD=1/2*CB={-a/4,c/2}=DB =>

AD=AC+CD={3/4*a,c/2}

Пусть AO=m*AD={3/4*m*a,m/2*c} (т.к. вектора AO и AD сонаправлены)

Из условий задачи c(ACK)=c(KCB) => -AC*CO/|AC|/|CO|=CO*CD/|CO|/|CD| (применяем определение скалярного произведения) =>

=> -AC*CO/|AC|=CO*CD/|CD| (6)

CO=AO-AC={3/4*m*a-a,m/2*c}={(3/4*m-1)*a,1/2*m*c}

AC*CO=a*(3/4*m-1)*a

CO*CD=(3/4*m-1)*a*(-a/4)+1/2*m*c*c/2=1/4*((1-3/4*m)*a^2+m*c^2)

|CD|=sqrt(a^2/16+c^2/4)

Подставляя всё это в (6), получим:

(1-3/4*m)*a^2/a=1/4*((1-3/4*m)*a^2+m*c^2)/sqrt(a^2/16+c^2/4) (8)

Из условий задачи |CO|=4 =>

(3/4*m-1)^2*a^2+1/4*m^2*c^2=4^2 (7)

Кроме того:

AC+CO+OK=AC+5/4*CO=AK=k*AB (т.к. вектора AK и AB сонаправлены)

Отсюда получим систему уравнений:

AC+5/4*CO={a+5/4*(3/4*m-1)*a,5/4*1/2*m*c}={k*a/2,k*c}=>

=> a+5/4*(3/4*m-1)*a=k*a/2, 5/4*1/2*m*c=k*c} =>

ð {k=1/4, m=2/5}

Теперь, используя m=2/5, легко решить систему {(7),(8)}:

c=10/3*sqrt(15), a=20/21*sqrt(21)

Откуда: |AC|=20/21*sqrt(21),|AB|=sqrt(a^2/4+c^2)=20/7*sqrt(21)=|CB|

Что и требовалось найти.

Впервые опубликовано 18.11.06