Вспомогательные построения при решении трудных задач по стереометрии
(обзор книги Д.Е и Е.М. Родионовых «Стереометрия в задачах. Пособие для поступающих в вузы»)
©
М.Ю.Копылов
1.Угол между прямой (a)и плоскостью (α)
Нужно из т.A на пр.a провести перпендикуляр к пл.α – получим т.B – ортогональную проекцию т.A на пл.α.
Далее провести через т.C (пересечение пр.a и пл.α) и т.B пр.b (это – ортогональная проекция пр.a на пл.α)
Тогда угол между пр.a и пр.b – искомый.
2.Угол между плоскостями (α и β)
Нужно через любую точку одной из плоскостей провести пл.γ, перпендикулярную к прямой пересечения плоскостей (α и β).
Тогда угол между прямыми пересечения α и γ, β и γ – угол между плоскостями α и β.
3.Расстояние от точки (A) до плоскости (α)
Нужно:
1.Через данную точку (A) провести пл.β, перпендикулярную данной (α) плоскости.
2.Опустить перпендикуляр из т.A на прямую пересечения α и β.
Для п.1 часто требуются дополнительные построения:
1.1.Провести линию пересечения данной плоскости со вспомогательной плоскостью (γ) – пр.a.
1.2.Опустить перпендикуляр из т.A на пр.a – пр.b.
1.3.Восстановить из точки пересечения пр.a с пр.b перпендикуляр в плоскости α – пр.c.
Тогда плоскость, проходящая через пр.c и пр.b – перпендикуляр к пр.b и пл.α.
4.Расстояние (и угол) между прямыми (скрещивающимися) a и b
Нужно провести плоскость α, перпендикулярную к пр.a, а затем – построить ортогональную проекцию пр.b на плоскость α - пр.c.
Тогда расстояние от т.A (пересечения пр.a с пл.α) до пр.c и есть искомое расстояние.
Отсюда же найдется и угол между пр.a и пр.b – это угол между пр.b и пр.c.
2-ой способ
Возьмем любую т.A на пр.a и проведем через неё пр.c, параллельную пр.b. Тогда пл.α (проведенная через пр.c и пр.a) – параллельна пр.b -> расстояние от любой т.B (принадлежащей пр.b) до пл.α равно расстоянию между пр.a и пр.b.
То есть (в данном случае) задача сводится к отысканию расстояния от прямой до пл-ти (а затем – от точки до плоскости (если прямая параллельна пл-ти))
1.Точка пересечения пр. и пл-ти (если не дана)
Строится по опорным (вспомогательным) плоскостям -
проходящим через данную прямую. Тогда точка пересечения её с плоскостью лежит на прямой пересечения вспомогательной пл-ти с данной.
Вот и все методы. Они не столь сложны, как кажется на 1-ый взгляд.
Но действительно они станут вам понятны, когда сами на практике попробуете решить несколько задач (такого типа).
Прилагаю их ниже.
Впервые опубликовано 4.06.06