Паралогизмы в физике
0.Является ли энтропия термодинамической функцией состояния?
Термодинамическая
функция состояния определяется как величина, изменение которой не зависит от
пути, по которому термодинамическая система переходит из одного состояния в
другое. Вследствие этого таковой может быть признана любое выражение от
естественных (исходных) функций состояния – давления, объема и абсолютной
температуры и их дифференциалов, которое является полным дифференциалом. Так,
выражение вида:
является полным
дифференциалом при условии
,
поскольку в этом случае
найдется функция 
, такая что
Именно по такой схеме
вводится в термодинамике понятие энтропии как термодинамической функции
состояния.
Во всех учебниках
термодинамики энтропия вводится как величина
Рассмотрим это выражение
Оно является полным
дифференциалом при выполнении условия
Проверим, выполняется ли это
условие. Его левая часть равна 0, так как 
по определению. Правая
часть найдется исходя из уравнения состояния идеального газа
так как и
, и 
не зависят от 
. Итак, рассмотренное выражение является полным
дифференциалом и поэтому – функцией состояния, получившей название энтропия.
В этом выводе, однако, есть одно «но» – в нем
используется уравнение состояния идеального газа. Если учесть это весьма важное
обстоятельство, то получается, что при данном определении энтропии она является
функцией состояния только для идеального газа. Что же касается реального газа,
то беря уравнение его состояния в виде
,
получаем
,
откуда следует, что
рассмотренное выше определение энтропии может быть распространено на реальный
газ только при условии 
(поскольку при этом
частная производная по T правой части равна 0). Это
нарушает общий статус рассуждений. Следовательно, используемое ныне
определение
энтропии не годится для реального газа. Так как не является функцией состояния.
1.Потери энергии на активном сопротивлении.
Для вычисления мощности
тепловых потерь на активном сопротивлении существует две формулы. С одной
стороны:
С другой стороны:
Сравнивая эти формулы, мы
обнаруживаем странную вещь: согласно первой формуле мощность тепловых потерь
прямо пропорциональна сопротивлению, согласно же второй – обратно
пропорциональна. Итак, налицо противоречие между этими формулами. И тем не
менее ни одну из этих формул нет оснований заподозрить в некорректности. В чем
же дело?
Попробуем смоделировать эту ситуацию на отвлеченном
примере. Может ли одна и та же величина (y) быть одновременно и прямо
пропорциональна и обратно пропорциональна другой величине (x)?
Ответ на этот вопрос найдется из системы уравнений:
Перемножив эти уравнения,
получим условие разрешимости системы:
Отсюда видно, что исследуемая
ситуация не может возникать, если, как и полагается по умолчанию, B и С –
независимые константы. Но она может возникать, если между ними имеется
конкретная зависимость.
Проверим, нет ли такой зависимости в нашем физическом
примере. В нем
,
что и требуется, чтобы такое
парадоксальное сочетание зависимостей имело место.
Но возвратимся
к математической стороне вопроса. Итак, имеется схема, по которой из прямой
пропорциональности может быть выведена обратная пропорциональность:
Очевидно также и то, что
выводимая обратная пропорциональность – ложная, так как коэффициент в ней не
является константой. Если же сделать базовой обратную пропорциональность, то
ложной оказывается прямая пропорциональность:
Таким образом, обе
анализируемых зависимости, строго говоря, не являются ни прямой, ни обратной
пропорциональностями. Причина этому – зависимость между их коэффициентами,
которая обусловлена только физическим смыслом этих коэффициентов и потому
формально не обнаруживаемая.
2.Преодоление силы трения покоя.
При пристальном рассмотрении сила трения является
довольно странной силой (рис.1) [см. пособие для поступающих в вузы:
В.А.Колесников. Физика. Теория и методы решения конкурсных задач. Часть 1,
с.40].
Рис.1.
Во-первых, она до того
момента, пока сила тяги не превзошла некоторое значение (сила трения покоя), не
имеет фиксированного значения и возрастает вместе с силой, которой она
противодействует (зона покоя). Отсюда следует, что в зоне покоя тело имеет
нулевое ускорение, то есть постоянную скорость. Это явно не соответствует
понятию покоя. Во-вторых, после этого
момента покоящееся тело начинает двигаться (зона движения). Следовательно, сила
трения хотя бы на некоторое время должна стать меньше силы тяги, чтобы тело
смогло разогнаться до некоторой отличной от нуля скорости. Не может же
ускорение тела скачком (моментально) возрасти от 0 до некоторого ненулевого
значения. Как же это происходит?
Далее, тело,
приобретя скорость, начинает двигаться равномерно (рис.2). (Это явление
наблюдается в подшипниках, в ременных передачах и других фрикционах.) То есть
сохраняется именно проскальзывание (относительная скорость), а не относительное
ускорение, как это следует из закона трения, приведенном в пособии (см. выше).
Рис.2
Если бы сила трения (в зоне
движения.
Это принципиально, так как в
зоне покоя отличия нет: равны 0 (по чисто математическим причинам) как
относительная скорость, так и относительное ускорение. Что и вызывает (стимулирует)
путаницу на этапе (уже) движения.)
допускала сохранение
относительного ускорения (а не скорости), то наблюдалось бы очень нежелательное
явление: первичные звенья во фрикционах разгонялись бы до бешенной скорости,
тогда как вторичные так бы и оставались… нет, не
медленно движущимися, а…
неподвижными.
Значит, сила трения на этом
этапе опять должна сравняться с силой тяги. Но нельзя ли все эти процессы
смоделировать, чтобы узнать, от чего зависит длительность каждого этапа, а
самое главное – ускорение, которое имеет тело на этапе разгона и при какой
скорости этот этап прекращается?
Сначала отмечу, что явление трения покоя (зоны покоя)
имеет место только при сухом трении, отличающего тем, что закон трения
нелинеен. Именно этим обстоятельством можно объяснить явление трения покоя.
Сухое трение аналогично, например, полупроводниковому диоду, ток через который
при малом падении напряжения на нем очень мал, а при превышении этой величиной
некоторого значения начинает быстро возрастать (диод открывается). Ток через
диод описывается экспоненциальной функцией от падения напряжения на нем. Однако
для сухого трения этот закон не годится, так как оно, в отличие от тока через
диод, ведет себя также и противоположном направлении (рис.3).
Рис.3
Поэтому для зависимости
скорости тела с трением от действующей на него силы пригодна нелинейная, но
нечетная функция. Наиболее простой такой функцией является:
(1)
где v0/F0^3 – это параметр,
аналогичный (по физическому смыслу) коэффициенту трения (но в обратном
значении: чем v0/F0^3 больше, тем коэффициент трения меньше).
Чтобы довести эту функцию до
закона трения, нужно добавить «-» (так как сила трения направлена
противоположно
скорости):
(2)
Получается следующая
зависимость (рис.4).
Рис.4
Именно она соответствует
всем наблюдаемым на практике свойствам силы трения.
3.Параболическая и гиперболическая орбита спутника.
Первая
космическая скорость (КС) – это скорость, при которой спутник планеты движется по
круговой орбите. В курсе физики средней школы, исходя из этого, выводится формула для 1-ой космической
скорости:
Поскольку все входящие в
формулу величины являются константами, то получается, что первая космическая
скорость – также константа. Предположим теперь, что скорость спутника спутника
несколько меньше этого значения – что получится? Обычно говорят, что спутник
упадет на Землю. Реже добавляют, что по параболической траектории. Хотя при
скорости спутника, ненамного меньшей первой космической очевидно, что спутник
может упасть очень далеко от точки запуска и поэтому некорректно будет не
учитывать круглость Земли.
Но более интересен ответ на вопрос, что получится, если
скорость спутника сделать больше первой космической. Чисто качественные
рассуждения приводят при этом к выводу, что орбита спутника станет
эллиптической. А если еще больше увеличить скорость спутника? Согласно,
по-видимому, логике конических сечений, считается, что орбита спутника
превратится из эллипса в параболу, а при дальнейшем увеличении скорости – в
гиперболу. Вследствие этого должны существовать значения скорости спутника, при
которых происходят эти превращения происходят – соответственно вторая и третья
космические скорости. Но более пристальный взгляд на проблему, однако,
нащупывает здесь, похоже, слабое место: а каковы формы промежуточных орбит,
которым и соответствуют названные скорости? Аналитико-геометрический анализ
показывает, что парабола – это и есть промежуточная форма между эллипсом и
гиперболой, поскольку парабола получается только при одном угле наклона секущей
плоскости, при всех же остальных углах получаются эллипсы и гиперболы. Остается
только добавить, что для эллипса есть частный случай – окружность, а для
гиперболы – вырожденный (две пресекающихся прямых). Таким образом получается,
что 2-ую космическую скорость можно было бы определить, как скорость, при
которой (и только при ней) орбита спутника является параболой, а 3-ью
космическую – как скорость, при которой орбита является прямой. Очевидно, что
при таком определении значение 3-ей космической скорости для любого случая
равно бесконечности, что не соответствует объявляемому ее значению, например,
для спутника Земли.
Кардинальное решение вопроса дает аналитическое
определение 2-ой и 3-ей космических скоростей посредством системы
дифференциальных уравнений, описывающих движение спутника под действием силы
притяжения планеты:
В зависимости от значений
начальных координат и проекций начальной скорости, эти уравнения дают, как ни
странно, только один тип решений – эллиптические орбиты спутника (для которых
круговые орбиты есть частный случай). Иллюзия параболичности и гиперболичности
орбит возникает только вследствие недостаточного интервала интегрирования. Если
этот интервал совсем мал (по отношению к размерам орбиты), то получается
«гиперболическая» орбита, если чуть больше – «параболическая» орбита. Отсюда
вывод: если исходить только из закона притяжения, то не удается определить 2-ую
и 3-ью космические скорости. Поэтому все рассуждения о том, что при 2-ой
космической скорости спутник преодолевает притяжение планеты – это абсурд.
Добавим к решению дифференциальных уравнений еще и
качественные рассуждения. Если спутник находится исключительно под действием
силы притяжения планеты, то эта сила
будет работать на уменьшение радиальной (удаляющей) составляющей этой скорости
и при любом ее начальном значении она так или иначе будет превращена сначала в
нуль, а затем в приближающую составляющую. Вопрос о том, произойдет ли это –
это вопрос только времени. Таким образом, спутник при отключенных двигателях в
любом случае просто-таки обречен на возвратно-поступательное движение около планеты. Система
планета-спутник в этом случае аналогична (несколько специфичному)
колебательному контуру. Единственная оговорка для этой модели – то, что в ней
считается, что существует только одна планета. Поэтому здесь возникает
следующая «зацепка»: для космических скоростей (КС) выставить требования к
минимальному (или максимальному) размеру орбиты, которое привязано к реальным
расстояниям между космическими телами. Например, для 2-ой КС потребовать, чтобы
максимальный размер орбиты спутника равнялся расстоянию до Луны, а для 3-ей КС
– расстоянию до Плутона.
4.Увеличение высоты орбиты спутника при уменьшении его скорости.
Как известно, формула для вычисления 1-ой КС такова:
Здесь R – это
радиус орбиты спутника, отмеренный от центра планеты. Нетрудно заметить, что из
формулы следует, что при увеличении этой величины 1-ая КС уменьшается.
Получается парадоксальный вывод: чтобы поднять орбиту спутника, нужно его …
затормозить. Физическая интуиция, да и воспоминание о недавней эпопее с
утоплением космической станции «Мир» (чтобы ее утопить, включили тормозные
двигатели) горячо протестуют против этого вывода. Следовательно, где-то ошибка
в рассуждениях. Поскольку вышеприведенная формула относится к стационарному
состоянию спутника, что имеет место при выключенных двигателях, а изменение
высоты орбиты – это нестационарный процесс, так как для этого нужно включать
двигатели, логично заключить, что в разбираемом случае используемая формула не
годится.
Следовательно,
чтобы дойти до истины, предстоит смоделировать с помощью дифференциальных
уравнений движение спутника с включенными двигателями. Пусть сила тяги этих
двигателей направлена вдоль вектора мгновенной скорости спутника. Тогда
получается следующая система дифференциальных уравнений:
Параметр 
здесь – это деленная
на массу спутника постоянная сила тяги его двигателей. Решение этой системы
уравнений дает тот же странный результат: при положительном значении этого
параметра (что соответствует разгону спутника) происходит постепенное (по
архимедовой спирали) повышение орбиты
спутника, сочетающееся с уменьшением модуля его скорости! Прямо противоположный
результат получается при отрицательном значении данного параметра. Итак, и
дифференциальные уравнения дают результат в точном соответствии с формулой для
1-ой КС.
В чем же дело?
Теперь уже и вышеприведенные дифференциальные уравнения счесть неправильными?
Подойдем к исследованию данной ситуации с другой позиции – энергетической.
Почему интуиция противится тому, что увеличение высоты орбиты сочетается с
уменьшением скорости спутника? Потому что увеличению высоты орбиты
соответствует увеличение энергии спутника, а уменьшению скорости – уменьшение
его энергии. Но в первом случае увеличивается потенциальная энергия, а во
втором – уменьшается кинетическая. Не может ли быть так, что работа силы тяги
двигателя (при разгоне) увеличивает полную энергию спутника при увеличении его
потенциальной энергии и уменьшении кинетической? Такое действительно возможно,
если увеличение потенциальной энергии при этом больше, чем уменьшение
кинетической. Исследуем этот вопрос аналитически. Изменение потенциальной
энергии найдется из
А изменение кинетической –
из
Используя формулу для 1-ой
космической скорости, получаем
Итак, вышеприведенная
гипотеза подтверждается: работа силы тяги двигателей спутника изменяет его
полную энергию на ½ изменения потенциальной энергии за счет того, что
кинетическая энергия при этом изменяется в противоположную сторону на ½
изменения потенциальной энергии. В случае разгона спутника мы впервые получаем,
что приложение силы не увеличивает скорость тела в соответствующем направлении,
а производит совсем другой эффект: увеличение высоты орбиты спутника.
Изменения внесены 2.10.04
Впервые опубликовано ПАРАЛОГИЗМЫ В ФИЗИКЕ