[ Привет, физматика! ] [ Что нового на сайте ] [ Разобраться  в теории ] [ Если не решается задача ] [ Тесты на понятливость ] [ Ну очень трудные задачи ] [ Короткие заметки ] [ Статьи ] [ Форумы ] [ О нас пишут ]

 

 

Наука и мифы в теории поверхностного натяжения

 

 

Содержание

Часть 1

 

 

1. Основные вопросы к теории поверхностного натяжения

1.1.   Направление, точка приложения силы поверхностного натяжения. Обязателен ли контур?

1.2.   Капиллярное давление: распределение по высоте сосуда, почему + для  выпуклого мениска.

1.3.   Высота подъема жидкости в капиллярной трубке: как зависит от угла смачивания.

2. Вопросы к примерам решений задач (мифологическая часть теории).
3. Различие между силами самоадгезии и трансадгезии.
4. Различие между капиллярным эффектом и эффектом удержания жидкости в отверстии сосуда
5. Взаимодействие и раздельное действие различных сил (в том числе силы тяжести) в капиллярном эффекте и эффекте удержания в отверстии сосуда.
6. Подробная теория силы поверхностного натяжения.

6.1.   Силы положительной и отрицательной самоадгезии.

6.2.   Деформации изменения объема и формы. Текучесть.

6.3.   Минимум поверхности (при заданном объеме) = сфера. А не минимум поверхностной энергии! Как у нас повелось, в русском языке. И в русской логике. Ха-ха-ха.

 

 

Часть 2

 

 

7. Краевой  угол. Мениск. Капилляр. Толщина вовлекаемого (в трансадгезию) слоя. Закон трансадгезии.
8. Критический радиус удержания жидкости (в вышеназванных эффектах).
9. Критическая масса удержания жидкости.

9.1.   Удержание в трубке.

9.2.   Удержание в отверстии сосуда.

10. Удержание твердого тела на поверхности жидкости. Несколько слов об архимедовой силе.
11. Объяснение эффектов взаимодействия твердых тел на поверхности жидкости.

11.1.Оба тела – смачивающиеся.

11.2.Оба тела – не смачивающиеся.

11.3.Тела – разных знаков смачиваемости.

12. Истинное направление силы поверхностного натяжения. Сила п-натяжения и сила реакции опоры (или подвеса жидкости).

 

 

Часть 3

 

 

13. Тела в толще жидкости.
14. Образование и равновесие жидких пузырей.
15. Взаимодействие жидких пузырей.
16. Движение твердого тела на поверхности жидкости из-за неоднородности коэффициента ПН.
17. Удержание жидкости в сосуде при помощи жесткой пластины.
18. Равновесие капли на потолке, стенке, полу.
19. Взаимодействие капель.

 

 

Часть 1

 

 

1. Основные вопросы к теории поверхностного натяжения

 

 

                Как известно, одна из самых трудных тем школьного курса физики - тема «Поверхностное натяжение». Недаром в мою бытность учащимся средней школы я при всем усердии чувствовал себя в ней очень неуверенно. А теперь же эта тема вовсе исключена из школьной программы. Причем даже из программы углубленного изучения физики. Но все это, конечно же, лишь косвенные свидетельства трудности понимания этой теории. Каковы же прямые свидетельства этого? Методы когнитологии позволяют ответить и на этот вопрос.

                Заглянем в «Пособие по физике» С.П. Мясникова и Т.Н. Осановой на стр. 178 и прочитаем там: «Поверхностный слой жидкости находится в состоянии натяжения…» Как это понимать? Буквально так: существует некая сила, которая стремится растянуть поверхностный слой жидкости, чему препятствует сила упругости поверхностного слоя.  Таким образом, сказано уже про две силы. Какая же из них – сила поверхностного натяжения, о которой дальше пойдет речь? Об этом можно судить только по тому факту, что потенциальная энергия поверхностного слоя (поверхностная энергия), согласно пособию, прямл пропорциональна площади поверхности жидкости, причем коэффициент пропорциональности в данной зависимости – это и есть коэффициент поверхностного натяжения. Стало быть, сила поверхностного натяжения (СПН) – это сила, которая сопротивляется увеличению площади поверхностного слоя. Внешняя же сила (по-видимому, разной природы), которая работает против СПН – эта сила и создает поверхностную энергию жидкости. Здесь есть, правда, один серьезный вопрос: верно ли, что СПН станет равной нулю только если длина всех контуров  жидкого тела тоже сравняется с нулем, то есть тело приобретет нулевой объем? Верится в это с трудом, хотя именно это следует из формулы Fпн = sigma * L.

Читаем дальше: «Сила поверхностного натяжения равна коэффициенту пов. натяжения, умноженному на длину контура поверхности жидкости, на которые действует эта сила». Что это, опечатка?  Но как бы то не было, остается непонятным, на что действует  (к чему приложена) обсуждаемая сила: на поверхность жидкости или контур поверхности жидкости. Проблема здесь в том, что неизвестно, что имеется в виду под поверхностью жидкости. Если полную поверхность связной порции жидкости (жидкого тела), то причем здесь контур поверхности, ведь поверхность жидкого тела замкнута и не имеет контура. Если же все-таки СПН действует на контур поверхности, то, следовательно, под поверхностью жидкости имеется в виду сегмент поверхности жидкого тела, так как только сегмент поверхности имеет контур. Но к какому из многочисленных сегментов поверхности приложена СПН? Быть может, к тому, который естественно выделяется при контакте жидкого тела с другими телами?

Есть и более серьезное препятствие для понимания феномена СПН. Всякая сила есть характеристика действия одного (физического) тела на другое, а также смежных частей одного тела друг на друга (в случае силы упругости, которой и аналогична по природе обсуждаемая здесь СПН). Сегмент поверхность жидкости, как и его контур как геометрические объекты принадлежат как минимум двум физическим телам: жидкому телу и контактирующему с ним телу. Контур же сегмента может принадлежать трем и более телам. Спрашивается: СПН – эта сила действия жидкости на контактирующее с ним тело или наоборот? Есть и третий (не исключающий 1-ый и 2-ой) вариант: СПН – сила действия одной части жидкости на смежную с ней другую часть. Но один момент исходя из текста пособия все-таки становится ясен: так как СПН прямо пропорциональна длине контура поверхности, к которому она, по-видимому, приложена, то она является распределенной силой. Что же касается приложения к контуру, то уверенность в этом исчезает после прочтения текста решения задачи №344 из того же пособия. Действительно ли СПН действует только на контур? Ведь и незамкнутая линия тоже имеет длину. Но не важнее ли здесь площадь, а не длина, ведь площадь можно отнести только к контуру, то есть к замкнутой линии?

Еще один вопрос об СПН: как она направлена? Казалось бы, если она стремится уменьшить площадь поверхности жидкого тела (или некоторого ее сегмента)(это следует из формулы W=sigma*S при условии, что СПН – стягивающая сила), то она должна быть направлена по касательной к поверхности и нормально к контуру и причем в сторону отклонения контура в данной точке. Решения ряда задач, приводимые в пособии, пусть частично, но подтверждают этот тезис. Однако решение задачи №343 (из того же пособия) противоречит этому тезису: в нем СПН направлена нормально, а не касательно к поверхности жидкости. Кроме того, из формулы Fпн = sigma * L следует еще и третий вариант направления СПН – касательно к контуру, изменению длины которого она сопротивляется. Так что вопрос о направлении СПН, как и месте ее приложения остается открытым.

Следующий блок вопросов связан с понятием «капиллярное давление». В пособии [1] капиллярное давление (Ркап) определяется как давление, оказываемое изогнутым поверхностным слоем жидкости на саму жидкость, причем Pкап направлено на жидкость, если поверхностный слой выпуклый, и от нее, если поверхностный слой вогнутый. Спрашивается: капиллярное давление существует только на поверхности жидкости? При этом, если мы отвечаем, что и в толще жидкости тоже, то возникает другой вопрос: как капиллярное давление распределено по высоте жидкости? Далее: как Ркап относится с гидростатичесим давлением (Ргидр)? Ведь если Ркап < 0 и | Ркап | > | Ргидр |, то получается, что Рсум отрицательно! В решении задачи №370 из пособия [2] именно такой результат и получен, и сопровожден абсурндым комментарием «жидкость растянута». Как будто растянутость жидкости освобождает от ответственности за то, что не существует в природе отрицательных (абсолютных) давлений! Самое низкое (абсолютное) давление – давление вакуума и равно оно нулю. Не свидетельствует ли это о том, что понятие «капиллярное давление» обладает признаками софизма?

Что же касается того, что вогнутая поверхность жидкости растягивает жидкость (этот тезис тоже из [1] ) – это идет вообще без комментариев. Ведь жидкость – субстанция практически нерастяжимая, по крайнея мере для ее заметного растяжения требуются давления, на несколько порядков превосходящие так называемое капиллярное давление. Быть может, вернее было сказать, что вогнутая поверхность жидкости всасывает жидкость?

Но очевидность последней поправки становится ясна только при учете того, что капиллярное давление призвано исключительно к тому, чтобы объяснить капиллярный эффект. Для начала – дефиниция этого понятия   (необходимость дефинирования еще больше будет понята из дальнейшего): капиллярный эффект – это подъем (или опускание) жидкости в трубке (с не совсем ясными свойствами, при наличии которых ее и называют капиллярной) относительно уровня жидкости в сосуде, в который эту трубку погружают. Согласно [1] высота подъема (опускания) жидкости в капиллярной трубке (при полном самчивании стенок трубки) h = 2 * sigma / (ro * g * R). Эта формула получена, как известно, из формулы капиллярного давления. Из формулы капиллрного эффекта немедленно следует: чем больше sigma (коэффициент поверхностного натяжения = КПН), тем больше высота подъема. Между тем очевидно, что при подъеме (как и при опускании жидкости в трубке) общая площадь поверхности жидкого тела увеличивается! Не говорит ли это о том, что что-то не ладно в теории капиллярного эффекта да и капиллярного давления?

К теме «капиллярный эффект» есть и еще ряд вопросов:

1)       что такое капиллярная трубка ( так называемая узость трубки – это нечеткий признак)?

2)       откуда известно, что поверхность жидкости в капилляроной трубке имеет сферическую форму (ведь именно это обстоятельство позволяет обосновать формулу капиллярного эффекта формулой капиллярного давления)?

3)       какую поправку поправку следует ввести в формулу капиллярного эффекта при неполном сачивании? Что такое смачивание? Что такое несмачивание?

4)       если капиллярный эффект зависит от угла смачивания, то и капиллярное давление зависит от угла смачивания – почему?

После этих вопросов (даже при сделанных допущениях относительно существования капиллярного давления) наводит на мысль:  поскольку очевидно, что при угле смачивания Pi / 2, то есть при отсутствии как смачивания, так и несмачивания радиус поверхности жидкости равен бесконечности (поверхность жидкости плоская), а hкэ = 0 (капиллярный эффект отсутствует), то очевидно и то, что для проявления капилляроного эффекта нужна смачиваемость или немачиваемость, а не поверхностное натяжение! С этим выводом согласуется и несоответствие, обнаруженное выше – возрастание hкэ при возрастании КПН.

 

 

2. Вопросы к примерам решения задач (мифологическая часть теории поверхностного натяжения)

 

 

Выше были разобраны положения теории поверхностного натяжения (ТПН), излагаемые в учебной литературе в явном виде, то есть перед изложением примеров решений задач. Однако при анализе примеров решений задач вдруг выясняется, что ранее ТПН не была изложена исчрпывающим образом, то есть в примерах решений задач содержатся некие дополнительные элементы разбираемой теории. Вследствие предположения, что изложить эти элементы  явном виде почему-то не удается, я отнес их к мифологической части теории, то есть такой, которая в неотрефлексированной форме постоянно сопровождает отрефлексированную часть теории (это нечто сродни Святому Писанию и Священному Преданию). Поскольку существуют эти положения теории в неявном виде, то их можно анализировать только по вопосам, вызываемым применением этих положений. Часть из этих вопросов уже была показана выше в виду особой близости к явному тексту теории. Перейду теперь к более от нее отдаленным.

Начну с задачи №346 (про пузырек воздуха в толще воды). Текст решения этой задачи заставляет усомниться, действительно ли капиллярное давление – это то, которое оказывает поверхностный слой жидкости на саму жидкость. Быть может, Ркап – это также давление, с которым поверхностный слой жидкости действует на контактирующее с ним тело? К решению задачи № 347 (про равновесие мыльных пузырей, выдутых с разных концов одной трубки) – тот же самый вопрос.

К тексту решения задачи № 348 (про удержание жидкости в вертикальной трубке) тоже возникают вопросы: 1) разве может быть для одной и той же пары материалов (трубки и жидкости) вверху трубки – смачиваемость, а внизу трубки – несмачиваемость; 2) почему краевой угол взят равным 2*Pi и 0?

Исчерпав на этом вопросы к решениям задач в пособии [1], приведу вопросы к примерам решений задач в пособии [2]. Задача № 360 (о некорректности аналогии между поверхностным слоем жидкости и натянутой резиновой пленкой): разве СПН, согласно определению, не зависит от длины некоего контура на поверхности жидкости и разве эта длина не является мерой степени деформации поверхностного слоя жидкости? Задача № 368 (о равновесии смачиваемого водой кубика на поверхности воды): разве в данном случае СПН не направлена под углом к горизонту? Задача № 369 (о количестве теплоты, выделяющемся при капиллярном эффекте) порождает ряд вопросов: 1) правильно ли часть энергии, поступившей в систему и не пошедшую на увеличение энергии системы, целиком и полностью списывать на выделение теплоты, не связывая количество этой теплоты с конкретными диссипативными характеристиками системы? 2) СПН при подъеме жидкости совершают работу или над ними совершают работу?

 

 

3. Основные методологические принципы коррекции теории ПН

 

 

                Как видно, теория ПН в ее сегодняшнем состоянии порождает массу вопросов, остающихся без ответа. Попробуем скорректировать ее таким образом, чтобы шаг за шагом снять вопросительные моменты. Поскольку рассматриваемая теория, как мы убедились, «сыровата», опираться мы можем не столько на нее, сколько на достоверные, всеми признаваемые, опытные факты. Вот эти факты:

1)       капиллярный эффект (на первый взгляд - нарушение закона гравитации): в трубке малого диаметра, опущеной в сосуд с жидкостью, жидкость поднимается или опускается относительно уровня жидкости в сосуде

2)       эффект мениска: открытая вверх поверхность жидкости в трубке вогнута (то есть искривлена в сторону жидкости) при подъеме жидкости и выпукла (то есть искривлена в сторону от жидкости) при опускании жидкости относительно уровня в сосуде;

3)       при увеличении диаметра трубки высота (как вверх, так и вниз) капиллярного эффекта уменьшается, а открытая поверхность жидкости становится более плоской (хотя вогнутость и выпуклость сохраняется);

4)       эффект шара: небольшая обособленная от других тел порция жидкости при свободном падении имеет форму шара;

5)       жидкости с большим коэффициентом ПН (КПН) (например, керосин) проявляют тенденцию затекать на внешнюю поверхность сосудов, в которых они находятся (те, кто еще помнит, что такое керогаз или хотя бы читал занимательные книги Я.Перельмана, несомненно, знакомы с этим явлением);

6)       эффект удержания (тоже не дать – не взять нарушение закона гравитации!): даже в поле гравитации при определенных условиях (которые мы впоследствии постараемся выяснить) жидкость может  совсем не вытекать из вертикальной трубки или из отверстия в дне сосуда (одно из условий этого –   малость диаметра отверстия, но это, несомненно, неисчерпывающее условие невытекания. На это указывает прежде всего то обстоятельство, что даже из тонких трубок жидкость может вытекать, образуя капли (эффект каплеобразования). Очевидно, это зависит от массы жидкости в трубке.)

7)       из трубок больших диаметров после открытия нижнего отверстия жидкость вытекает вся сразу, без образования капель;

8)       небольшая порция жидкости может удерживаться от падения на плоских твердых поверхностях;

9)       твердое тело на поверхности жидкости выталкивается из жидкости, если оно смачивается жидкостью, и втягивается в жидкость, если оно не смачивается (есть очень хороший пример – болото);

10)    два твердых тела на поверхности жидкости притягиваются, если они оба либо смачиваемы либо несмачиваемы жидкостью, и отталкиваются, если одно смачиваемо, а другое – несмачиваемо (но этот эффект, приведенный в задаче № 378 [2], очевидно, проявляется не безусловно, а только на некоторых малых расстояних, иначе бы получился вечный двигатель на основе сил ПН).

После того как основные опытные факты собраны, обращает на себя внимание следующее обстоятельство: в перечисленных выше физических ситуациях и процессах фигурируют, наряду с силами ПН, и силы другой природы. (Как видно, наиболее часто встречающаяся из этих сил – это сила тяжести (см. все пункты, кроме 4!)[1]).   А раз так, то и получаемый в итоге результат зависит и от них тоже. Между тем, поскольку мы исследуем силы ПН, то желательно пока исключить влияние каких-либо посторонних сил на физическую ситуацию. Представим, например, что получится, если в капиллярном эффекте исключить силу тяжести? Ответ на этот вопрос подсказывает пункт 5 перечня опытных фактов. Получится качественно иной результат! Капиллярный эффект как таковой перестанет существовать! Жидкость не только поднимется до верха трубки (какой бы высоты она не была[2]), но и перельется на ее внешнюю сторону, то есть покроет трубку со всех сторон ровным слоем. Впрочем, аналогичного эффекта, как видно из пункта 5, можно добиться и в земных условиях. Нужно лишь взять трубку с высотой, хотя бы в 2 раза меньшей высоты капиллярного эффекта. Такие случаи как раз и разбираются в задачах № 373 и 375 [2], но почему-то некорретно. По-видимому, из-за непонимания природы капиллярного эффекта (что, я надеюсь, станет ясно из дальнейшего).

Но кто знает, не действуют ли в разбираемых нами ситуациях какие-то еще силы, кроме сил ПН и сил тяжести? Претенденты на звание таковых упоминаются почти во всех пособиях и учебниках по физике в разделе теории ПН: силы взаимодействия между молекулами жидкости (назовем их силами самоадгезии или сокращенно силами СА) и силы взаимодействия между молекулами жидкости и твердого тела (назовем их силами трансадгезии или силами ТА). Для сил ТА, впрочем, не важно, является ли второе тело твердым или нет. Главное – то, что силы ТА - это силы взаимодействия между разными телами, а силы СА – между частями одного тела. То, что эти силы существует, сейчас не вызывает ни у кого сомнений. Вопрос в отношении них другой: не являются ли они указанием на природу тех сил, которые и обеспечивают так называемое ПН? Справочник по физике Кошкина [3] так трактует этот вопрос: молекулы в толще жидкости (во всей своей совокупности) притягивают молекулы, более периферические к ним, к центру жидкого тела (то есть такой его точки, где равнодействующая всех сил СА равна нулю!). Поскольку жидкость при этом, тем не менее, находится в равновесии, то на всякую молекулу жидкости на поверхности жидкости необходимо действует противоположно направленная сила, являющаяся равнодействующей так называемых сил ПН, то есть сил, которые стремятся удержать всякий участок поверхности жидкости в растянутом состоянии и, следовательно, направлены по касательной к поверхности жидкости (вдоль поверхностного слоя, по выражению Кошкина). Отсюда вывод: силы ПН имеют иную природу, чем силы  СА.

                Полученный выше тезис со всей уверенностью подтверждает факт 4 – форма свободного жидкого тела - шар. Поскольку в данном никаких других сил, кроме ПН и СА, нет, то силы ПН не могут быть  тождественны силам СА, так как при этом не могло бы быть достигнуто равновесие жидкого тела! В результате (динамического, то есть процессного, а не ситуативного) взаимодействия только этих двух сил жидкое тело приобретает форму шара, который, как известно, есть такое тело, площадь поверхности которого минимальна для заданного объема тела. Эффект шара, как не трудно понять, вполне согласуется с канонической формулой W = sigma * S, из которой следует, что чем меньше площадь поверхности жидкости, тем меньше потенциальная энергия ее поверхностного слоя. Поскольку жидкость в свободном состоянии (то есть будучи предоставлена сама себе) приобретает форму шара, это означает, что силы ПН вместе с силами СА – это и есть те силы, которые стремятся минимизировать потенциальную энергию поверхностного слоя (при сохранении объема жидкого тела[3]). И это, при отсутствии других сил, им удается.

               

 

4. Капиллярный эффект

 

 

Итак, силы СА и ТА не тождественны силам ПН. Этот важный вывод позволяет перейти к количественному анализу некоторых явлений, связанных с действием этих сил. Но в той ситуации, когда не удается убедительно ответить на вопросы о точках приложения и направлении  вышеназванных сил – разве возможно решение поставленной выше задачи? В некоторых случаях – да, а именно тогда, когда удается применить энергетический подход – это чудодейственное средство, позволяющее вполне строго решать физические задачи даже тогда, когда неизвестны законы, которым подчиняются фигурирующие в задачах силы. Одним из таких случаев является, как ни странно, капиллярный эффект (КЭ). По традиции напиллярный эффект объясняется существованием некоего капиллярного давления (Ркап). То, что тезис о существовании Ркап приводит к довольно курьезным выводам, уже было отмечено выше. Но продолжим это обсуждение. В самом деле, почему, если Ракп существует и присуще исключительно поверхностному слою жидкости, капиллярный эффект проявляется только при наличиии трубки (причем не какой угодно) и ее физическом контакте с поверхностью жидкости? Только так: опускаем трубку в жидкость – жидкость поднимается, не опускаем – не поднимается. Следовательно, трубка – необходимый элемент КЭ! Идем дальше. Характер капиллярного эффекта (подъем или опускание) также определяется свойствами трубки (смачивается или не смачивается). Если трубка имеет нейтральное отношение к жидкости, то КЭ отсутствует! Можно возразить, что в формуле КЭ, кроме свойств жидкости присутствует также и свойство трубки – ее радиус. Но это – не более чем иллюзия, порожденная двумя (весьма безососновательными) допущениями: 1) мениск в трубке имеет сферическую форму; 2) угол смачивания внутри трубки равен 0 или Pi. Таким образом, фактически в формуле КЭ вместо радиуса трубки стоит радиус мениска жидкости в трубке, то есть также свойство жидкости, а не трубки! Это обстоятельство в точности согласуется с формулой капиллярного давления (применяемой для вывода формулы КЭ) – в ней-то никаих других свойств, кроме свойств жидкости, точно нет. Ведь Ркап объявлено исключительно принадлежностью самой жидкости (а точнее – жидкого тела, то есть порции жидкости, имеющей форму и все другие атрибуты физического тела). Все это вместе взятое позволяет притти к предположению: так называемое капиллярное давление, если и существует, но не имеет никакого отношения к КЭ! Следовательно, формулу для КЭ надо выводить с иных позиций.

                Подвести нас к решению этой задачи может только четкое понимание того, какие же силы являются главными фигурантами в капиллярном эффекте, то есть без каких сил КЭ просто не существует. Одна из этих сил, сила тяжести, нами уже названа выше. Сила СА, хотя и может присутствовать, но не является главным фигурантом, так как она стремится уменьшить площадь жидкого тела (ЖТ), то есть является помехой для КЭ. Ведь в КЭ площадь поверхности ЖТ обязательно увеличивается. Остается только один претендент. И на него косвенно указывает наше опытный факт 5 (про керосин и керогаз) и почти напрямую – обязательное наличие трубки (то есть второго, твердого, тела в ситуации КЭ). Разумеется, эта вторая необходимая для КЭ, сила – это сила ТА (трансадгезии). Именно она, сила ТА, стремится в противоположность силе СА не уменьшить, а увеличить площадь поверхности ЖТ за счет увеличения площади его контакта с другим телом и в идеале сравнять последнюю с площадью поверхности этого тела. Следовательно, потенциальная энергия, создаваемая силой ТА, максимальна, если площадь контакта тел равна 0. Иначе говоря, работа силы ТА положительна (а соответствующая ей потенциальная энергия убывает), если площадь контакта тел увеличивается, и отрицательна  (а соответствующая ей потенциальная энергия возрастает), если площадь контакта уменьшается. Отсюда легко получить формулу работы силы ТА: Ата = sigma_та * DSк, где sigma_та – коэффициент ТА (чуть не написал коэффициент ПН для силы ТА), DSк– приращение площади контакта тел. Соответственно, DWта = -Ата. Напомню, что Аса = - sigma_са * DS, так как DWса = sigma_са * DS (это следует из канонических источников с той лишь поправкой, что на место силы ПН по полному праву занимает сила СА[4]).

                Теперь, когда абсолютно все готово для вывода формулы КЭ, позволю себе обсудить еще один курьез из [2] – уже упомянутое мной выше решение задачи № 369. Это решение также есть попытка проанализировать с энергетичесих позиций КЭ. И авторы решения совсем недалеки были от правильного вывода (правильной формулы КЭ, хотя и с некоторыми оговорками), если бы не использовали в нем … неправильную формулу КЭ! Но, поскольку вопрос в задаче стоял иначе: найти количество теплоты, выделяющееся в КЭ, то не сделать этого они не могли. Между тем совершенно ясно, что авторами данной задачи сначала было обнаружено несоответствие: работа неких сил (называемых в решении силами ПН), которые, увеличивая площадь поверхности ЖТ, совершают заодно подъем жидкости на некоторую высоту, то есть увеличивают гравитационную потенциальную энергию жидкости, оказывается больше увеличения этой потенциальной энергии (если применять традиционную формулу КЭ). Законный вопрос в данном случае: куда подевалась энергия? И «законный» ответ на такие вопросы (для наших вузовских преподавателей): выделилась виде теплоты[5]. Хотя, если рассуждать корректно, то у выделения теплоты должна быть какая-то своя собственная причина. Например: трение, сопротивление, вязкость, электрическое сопротивление а не просто невесть откуда взявшийся излишек энергии.[6]

                Ну вот и пробил час вывода формулы КЭ. Сделаем мы это с помощью непосредственного следствия из 2-го закона Ньютона. Оно формулируется так: в некотором процессе сумма работ всех фигурирующих в системе сил равна приращению кинетической энергии системы. Если в процессе кинетическая энергия не изменилась, то получаем частный случай этого следствия – закон равновесия работ. Поскольку КЭ и есть такой вид процесса, то по закону равновесия работ:

 

Ата + Аса + Атяж = 0

 

Поскольку

 

Ата = sigma_та * DSк

Аса = -sigma_са * DS

Атяж = -m * g * Dh

DSк = 2 * Pi * R * |hкэ|

DS = 2 * Pi * R * |hкэ|

m = ro * Pi * R² * |hкэ|

Dh = hкэ / 2 (высота подъема центра масс жидкости в трубке),

 

 То, решив уравнение равновесия работ,получаем

 

hкэ = 4*(sigma_та – sigma_са) / (ro * g * R)

 

где ro – плотность жидкости, R – радиус трубки.

Легко видеть, что эта формула лишена всех тех недостатков, которые были отмечены выше для традиционной формулы. Так, коэффициент СА в ней занимает надлежащее место: чем он больше, тем меньше hкэ (и действительно, если силу СА убрать, то КЭ останется). Вместо радиуса мениска стоит радиус трубки. Шаткие допущения о сферической форме мениска и нулевом краевом угле совсем не понадобились. Легко видеть также и то, почему прежняя, неправильная формула так долго и успешно применялась. Объяснение этому простое: в прежней формуле величина, обозначавшаяся sigma – на самом деле не коэффициент ПН, а некая конструкция вида 2 * (sigma_та – sigma_са), которая и измерялась, по-видимому, в опытах и поэтому сейчас именно ее значение (а не sigma_са и sigma_та) приводится в справочной литературе. С этой оговоркой прежняя формула может применяться и дальше. Легко также проверить, что новая формула не обнаруживает в КЭ никаких излишков энергии.

 

 

5. Эффект каплеобразования

 

 

                Замечено, что в пособиях лихо решаются задачи по удержанию жидкости в отверстии в дне сосуда Примеры таких задач - № 348, 358 [1], 366 [2]. Близка к ним  по физической сути задача № 359 [1], но в ней вопроса об условиях удержания в ней не стоит (наверно, и так ясно, что удержится либо молчаливо, по-штилицевски, подразумевается, что сила тяжести отсутствует). Намного реже встречаются задачи по каплеобразованию. Примеры задач на эту тему: № 352, 353 [1]. Слово в слово переписана с № 352 задача № 7.18 из [4] (пособие Колесникова для МГТУ, ч.1)[7]. Отчего же вторая тема явно менее популярна у составителей задач? Не оттого ли, что природа эффекта удержания кажется более прозрачной, чем эффекта каплеобразования? Или, напротив, более прозрачна природа каплеобразования и поэтому задачи по этой теме кажутся более простыми в решении? Обсудим этот вопрос подробнее. Начнем с того, что эффект удержания жидкости в трубке или в нижнем отверстии сосуда является ситуацией, а именно ситуацией силового равновесия. Поэтому для его анализа не годится энергетический подход. Для анализа силового равновесия нужно иметь всю информацию о всех силах – точки приложения, напрвления, величина. В противоположность удержанию жидкости каплеобразование – это процесс, а не ситуация. Ведь в нем налицо две ситуации: 1) начало образования капли; 2) апля образовалась и отделилась от ЖТ. Следовательно, в лице каплеобразования мы встречаем вторую счастивую возможность применить для количественного анализа явления энергетический подход.

Соображение второе: ранее выяснено, что во всем множестве процессов и ситуаций, охватывемых теорией ПН, имеют место силы всего трех типов: СА, ТА и ПН. При этом силы СА и ПН присутствуют обязательно. Эффект шара – это как раз тот случай, когда присутствуют только эти две силы. При наличии второго тела, контактирующего с ЖТ, обязательно включаются силы ТА. При наличии гравитации включаются и силы тяжести. Одним из эффектов, в котором участвуют все эти четыре типа сил, является КЭ. Но, как показано выше, главными (то есть необходимыми и достаточными) для КЭ являются только силы ТА и силы тяжести. Силы ПН исключаются из числа главных потому, что традиционно работа сил ПН считается равной 0, так как все жидкости практически несжимаемы. Силы же СА исключаются потому, что они, хоть и подобно силам тяжести препятствуют силам ТА (но, правда, только в случае подъема жидкости в трубке!), но не могут, вследствие свей природы, ограничить капиллярный эффект определенной высотой. Следовательно, должен существовать эффект, в котором главными силами являются сил тяжести и силы СА. Не является ли таковым эффект каплеобразования?

                В самом деле, сила тяжести, несомненно, является главной для каплеобразования[8]. Теперь поищем силу, которая ей сопротивляется. Сила ТА в этом участвует, но для простоты предположим, что она равна нулю[9]. Разве в этом случае каплеобразование (КО) не состоится? Состоится, поэтому приходим к выводу: второй главной силой для анализируемого эффекта является сила СА. Итак, можно приступать к выводу формулы КО. Поскольку нас интересует только процесс до момента отделения капли, изменение кинетической энергии равно нулю и поэтому можно применить закон равновесия работ. Согласно ему

 

Аса + Атяж = 0

 

Кроме того

 

Аса = sigma_са * DS

Атяж = -Мк * g *  Dh

DS = 4 * Pi * Rк ² (площадь поверхности капли[10])

Мк = ro * Vк

Vк = 4/3 * Pi * Rк³

Dh = -Rк

 

Поэтому

 

Rк = (3 * sigma_са  / (ro * g))^1/2

 

Оговорюсь повторно: данная формула для КО получена без учета влияния сил ТА на процесс каплеобразования. Это связано с тем, что учет влияния сил ТА на процесс КО выходит за рамки энергетического подхода и поэтому будет проделан позже. На чисто качественном уровне можно сказать, что, наверно, в случае смачивания (назовем это положительной ТА) силы ТА будут увеличивать радиус капель (так как жидкость при этом будет затекать на внешнюю нижнюю поверхность сосуда), а в случае несмачивания (назовем это отрицательной ТА) эти силы будут этот радиус уменьшать (так как капля будет образовываться, возможно, без контакта с внутренней поверхностью отверстия). Второе использованное для вывода допущение: форма образующейся капли – сферическая (хотя в действительности, из-за влияния силы тяжести, форма капли напоминает грушу. Отмечу также, что из полученной формулы, как ни странно, следует, что радиус капли не зависит от радиуса отверстия, хотя во всех пособиях и учебниках равенство радиуса капли радиусу отверстия, из которого она вытекает является буквально общим местом. Между тем очевидно соображение: было бы отверстие, и капля какая угодно вытечет. Но все-таки затаивается надежда: быть может, учет влияния сил ТА хоть как-нибудь (то есть, возможно, далеко не так «очевидно», как простое равенство ) свяжет радиус капли с радиусом отверстия!

 

 

Часть 2.

 

 

Краевой угол, мениск, капилляр

 

 

Известно, что капиллярный эффект проявляется не для всех трубок, а только для капиллярных. Но на вопрос «что такое капиллярная трубка» всегда дается весьма нестрогий ответ: «это трубка малого диаметра». Нестрогий этот ответ потому, что он не может быть признан дефиницией. Таким образом , до сегодняшнего дня не существует понятия «капилляр», хотя слово существует. Чтобы дать дефиницию этому слову, обратим внимание на связь между опытными фактами 1, 2, 3. Капиллярный эффект обязательно проявляется вместе с эффектом мениска. Иначе говоря, если есть капиллярный эффект, есть и эффект мениска. Как это объяснить? Учитывая, что решающую роль в КЭ играет сила ТА, разумно предположить, что эта же сила выполняет ту же роль и в эффекте мениска. Известно, что поверхность жидкости во вращающемся сосуде принимает форму параболоида вращения. Не правда ли это явление напоминает эффект мениска? Искривление поверхности жидкости при вращении получается вследствие действия на частицы жидкости центробежной силы, направленной, как известно, горизонтально и радиально, а по величине пропорциональной расстоянию до оси вращения. Вместе с силой тяжести, также действующей на частицы жидкости, она образует поле равнодействующих, направленных радиально-вниз с монотонным увеличением угла наклона к оси вращения при движении от оси к периферии. Из математики известно, что именно так направлено множество нормалей к параболоиду вращения, причем не только качественно, но и количественно.

Представим теперь, что: 1) КЭ уже проявился полностью; 2) трубка, в которой мы рассматриваем мениск, имеет радиус, существенно меньший ее высоты. Тогда без большого ущерба для точности можно предположить, что трубка имеет бесконечную высоту и поэтому сила притяжения к ней (то есть сила ТА) направлена радиально и перпендикулярно к стенке трубки. При этом она имеет максимальное значение непосредственно у стенки, убывает (поскольку увеличивается расстояние до трубки) до нуля на оси трубки и меняет там направление на противоположное. Не правда ли, в лице силы ТА в данном случае мы имеем почти полный аналог центробежной силы? Он был бы полным, если бы зависимость  силы ТА от расстояния до оси в точности соответствовала такой же зависимости для центробежной силы[11]. Теперь посмотрим, как направлена в такой трубке сила СА. Поскольку сила СА – это сила притяжения жидкости, то в трубке она направлена вдоль оси трубки от открытой поверхности жидкости. Если положить для определенности, что трубка расположена вертикально, то получается, что все силы ТА направлены горизонтально, а силы СА – вертикально. Разумеется, строго вертикальны силы СА только на оси трубки, а при движении к периферии приобретают все больший наклон к оси (поскольку с одной стороны оказывается большее количество жидкости, чем с другой), но при сделанном допущении (R << H) этим отклонением можно пренебречь. То же самое касается и сил ТА: строго перепендикулярны к стенке эти силы только на середине высоты трубки, а при смещении от этой отметки приобретают все больший наклон к перпендикуляру (так как с одной стороны оказывается большая часть трубки, чем с другой). Но опять же при сделанных допущениях этим отклонением можно пренебречь. Кстати говоря: допущение о том, что КЭ уже произошел, сделано неспроста. Ведь само собой понятно, что когда жидкость только-только начинает втекать в трубку, силы ТА направлены строго вертикально и вверх! Так как вся трубка пока еще вверху. Поэтому в этой ситуации допущение о бесконечности трубки неприменимо.

В целом, как это уже понятно, получилась картина, аналогичная вращающемуся сосуду. С двумя только оговорками: 1) во втором случае силой тяжести пока пренебрегаем; 2) зависимости величины сил ТА и центробежных от расстояния до оси сосуда тождественны только качественно. Эта картина позволяет сразу перейти к вопросу о величине краевого угла, но прежде вернемся все-таки к поставленному выше вопросу о дефиниции термина «капилляр». Приведенное выше обсуждение продемонстрировало, что в самом деле, ведущую роль при образовании мениска имеет сила ТА, но без силы СА она не смогла бы образовать краевые углы, отличные от 0 и Pi. Поскольку это установлено, то бессмысленно отрицать, что мениск имеет место также и в сосудах с большим диаметром (R / H -> 1), ведь при увеличении диаметра сосуда силы ТА никуда не пропадают. Более того, если диаметр сосуда уменьшать, то величина силы ТА у стенки будет уменьшатся вследствие взаимной компенсации притяжения оппозитными стенками (так как силы притяжения ими жидкости направлены в разные стороны). Отсюда следует, что косинус краевого угла при уменьшении диаметра сосуда будет уменьшатся (то есть краевой угол будет стремиться к Pi/2), а не увеличиваться, как это традиционно считается! И, стало быть, по крайней мере в непосредственой близости от стенок сосуда поверхность жидкости в сосуде меньшего диаметра будет иметь меньшую кривизну! А не большую, как думают до сих пор.

Но где же обещанная дефиниция капилляра? До нее – рукой подать. Поскольку эффект мениска при ненулевой ТА (условимся для определенности, что ТА положительна – это не уменьшит общности рассуждений) имеет место независимо от диаметра сосуда, то можно сказать, что подъем жидкости относительно свободного уровня (то есть при отсутствии искривления поверхности) имеется в любом сосуде. Но это касается только жидкости в слое около стенок сосуда. Что же касается жидкости в центральной части сосуда, то ее уровень опускается, то есть за счет эффекта мениска происходит не общий подъем жидкости, а ее перераспределение от центра к периферии (опять же вследствие несжимаемости жидкости). Но почему же в таком случае все-таки получается КЭ? Решающую роль в нем играет то, что в нем фигурируют два сосуда, а не один (назовем их сосуд-источник и трубка). Ведь подъем жидкости начинается именно в тот момент, когда трубку приводят в контакт с жидкостью в сосуде-источнике. Это происходит оттого, что в результате нарушается равновесие жидкости в сосуде-источнике – появляется новый носитель ТА-силы. Подъем жидкости будет продолжаться до тех пор, пока равновесие жидкости в измененной системе не восстановится. А на вопрос о том, не будет ли жидкость подниматься только около стенок трубки, мы уже готовы дать отрицательный ответ. Ведь то, что жидкость и в центральной зоне в трубке будет наверняка выше, чем в сосуде источнике, следует из установленного выше обстоятельства, что при уменьшении диаметра сосуда краевой угол будет стремиться к Pi/2. Таким образом, долгожданная дефиниция понятия капилляр оказывается полученной! И она несколько парадоксальна: капилляром является всякий сосуд с ненулевой ТА к данной жидкости, какое-либо из отверстий которого может быть приведено в  контакт с жидкостью в другом сосуде. Попросту говоря, капилляром является любой сосуд, если для него найдется жидкость с ненулевой ТА к нему и сосуд с большим диаметром отверстия[12].

Даже после такого эффектного, хотя и парадоксального определения капиллярности за мной остается должок. Ведь мной, где-то тремя абзацами выше, был обещан вывод формулы для краевого угла. Но читатель, наверно, давно уже и сам сообразил, что краевой угол (при оговоренных выше допущениях) определяется сотношением величин сил ТА и СА. А если все-таки угодно увидеть готовую формулу, то вот она: alfa = Pi – arctg (Fст. са / Fст.та). Здесь Fст.са и Fст.та – соответственно величины сил СА и ТА у стенки сосуда. Эти величины, само собой понятно, монотонно возрастают[13] при увеличении расстояний: СА – от данной точки до жидкости (то есть, по-видимому, до центра масс ЖТ), ТА – от данной точки до твердого (или просто второго) тела (то есть, по-видимому, до центра масс этого тела). Но большего, к сожалению, пока сказать нечего. Поскольку количественно эти зависимости пока неизвестны[14]. Кстати, без их знания невозможно определить форму открытой поверхности ЖТ.

 

 

О забытых силах ПН и формуле капиллярного давления

 

 

После обнаруженного в предыдущей главе преобладающей роли сил СА и ТА в капиллярном эффекте, эффекте каплеобразования и мениска может возникнуть законный вопрос: а почему то, коррекцией чего мы занимаемся, называется теорией ПН? А где в этой теории собственно про силы ПН? Попробуем исправить это положение и обнаружить нечто про силы ПН. Кроме того, что они существуют и свободном состоянии ЖТ компенсируют действие сил СА, направленных внутрь ЖТ перпендикулярно поверхности последнего. Ведь только это и было сказано выше про силы ПН. Во-первых, какова природа этих сил? Например, про силы СА и ТА все ясно – они возникают вследствие притяжения частиц ЖТ друг к другу и к частицам твердого тела. Во-вторых, какова величина сил ПН? От чего она зависит?

Займемся сначала первым вопросом. Для этого расмотрим равновесие ЖТ в свободном состоянии (СС). Как известно, в этом случае, на частицу жидкости на поверхности ЖТ действует равнодействующая (Rса) всех парциальных сил СА (Fса), имеющих место вследствие притяжения этой частицы жидкости другими частицами жидкости. Поскольку в СС ЖТ абсолютно симметрично, то Rса направлена перпендикулярно поверхности ЖТ и во всех точках поверхности одинакова и максимальна[15] по величине. Но так как ЖТ находится в равновесии, то должна существовать некая сила, компенсирующая действие силы Rса. Этой силой и является некая сила ПН. Природа этой силы становится ясной, как только мы заметим, что действие Rса стремится уменьшить площадь поверхности ЖТ, а значит – сблизить между собой частицы жидкости в поверхностном слое. Вследствие несжимаемости (или хотя бы упругости) жидкости должны существовать силы, которые сопротивляются  этому сближению. Это и есть силы ПН, но только так называемые парциальные силы, то есть действующие на данную частицу со стороны смежных с ней частиц (в данном поверхностном слое) и направленные, следовательно, к даннной частице по касательным к поверхности ЖТ и перпендикулярно к периметру частицы. Для этих сил может определена равнодействующая, которая вследствие выпуклости тела (а значит и отличного от нуля угла между парциальными силами ПН, действующими на данную частицу с разных сторон ее периметра, отлична от нуля и направлена наружу ЖТ перпендикулярно его поверхности.

Сместимся от наружной поверхности внутрь ЖТ  в точку на некоторой  глубине.  Проведем через эту точку поверхность, концентрическую наружной. Рассмотрим равновесие некоторой частицы жидкости на этой поверхности. Так как на эту частицу действует сила СА, то должна существовать и некая компенсирующая ее сила. Которой и является интегральная сила ПН. Ведь в противном случае равновесие данной частицы жидкости невозможно! Кроме того, очевидно, что и на глубине ЖТ действие сил СА стремится уменьшить площадь поверхности, концентрических наружной, а значит и уменьшить расстояния между частицами на данной поверхности. Поэтому существуют силы, сопротивляющиеся (вследствие упругости жидкости) этому уменьшению расстояния между частицами – парциальные (по поверхности) силы ПН. Отсюда следует потрясающий вывод: так называемые силы поверхностного натяжения действуют не только на поверхности ЖТ, но и во внутреннем его объеме, а именно на каждом концентрическом поверхности ЖТ слое. Следовательно, силы ПН – не такие уж и поверхностные!

Зададимся теперь вопросом о величине равнодействующей сил ПН. Ответим на него, опять-таки рассматривая равновесие ЖТ в СС. Воспользуемся для этого сферической системой координат. Возьмем на поверхности ЖТ малый элемент жидкости в форме квадрата, стороны которого расположены вдоль параллелей и меридианов и имеют соответственно длины R*dfi и R*dteta, где R – радиус ЖТ. Тогда, согласно формуле Fпн = sigma * L на рассматриваемый элемент жидкости действуют силы ПН, равные соответственно sigma*R*dfi  и sigma*R*dteta и направленные по касательной к поверхности ЖТ, перпендикулярно соответвующим сторонам внутрь элемента жидкости. В связи с изогнутостью поверхности ЖТ между этими силами существует отличный от нуля угол, который для сил величиной sigma*R*dfi равен dteta, а для сил величиной sigma*R*dteta равен dfi. Поэтому равнодействующая первых сил равна sigma*R*dfi*dteta[16], а вторых – sigma*R*dteta*dfi. Обе равнодействующие направлены перпендикулярно поверхности ЖТ (в точке расположения элемента жидкости) и наружу ЖТ, поэтому их можно просуммировать алгебраически. Так как площадь элемента жидкости ds= R*dfi*R*dteta, то  R*dfi*dteta = ds/R. Используя это соотношение, получаем dRпн = 2*sigma/R*ds. Учитывая, что давление P = dF/ds, в итоге имеем Pпн = 2*sigma/R. Не правда ли, знакомая формула? Вот только трактовалась она как-то странно – как какое-то капиллярное давление. Хотя к капиллярному эффекту, как достоверно выяснилось, не имеет никакого отношения! А вот теперь выяснилось, к чему она действительно имеет отношение.

В заключение добавлю, что равнодействующая сил ПН в данной точке компенсирует не только силу СА, но и равнодействующую сил ТА и силу тяжести. Она всегда направлена перпендикулярно поверхности ЖТ и на выпуклых ее участках, как выяснилось выше, наружу ЖТ. Не составляет труда определить, что на вогнутых участках поверхности ЖТ рассматриваемая сила направлена также наружу. Однако при этом изменяются на противоположные направления парциальных сил ПН, то есть на вогнутых участках поверхности они направлены по отношению к элементу поверхности жидкости наружу. Это объясняется тем, что в случае вогнутости поверхности ЖТ силы, противодействующие силе ПН, стремятся не уменьшить, а увеличить площадь поверхности ЖТ и, стало быть, удалить частицы жидкости на поверхности друг от друга. Поэтому вследствие упругости жидкости возникают силы, препятствующие этому удалению – парциальные силы ПН. Таким образом, так называемое капиллярное давление (а на самом деле – давление равнодействующих сил ПН) независимо от формы поверхности ЖТ направлено наружу по отношению к ЖТ.

В пособиях [1] и [2] капиллярное давление фигурирует также в решениях задач с пузырьком воздуха в толще жидкости и выдуванием мыльных пузырей. Действительно ли это так? В случае с пузырьком воздуха в толще жидкости очевидно, что силы СА на поверхности пузырька будут стремиться сблизить разъединенные пузырьком воздуха частицы жидкости, а значит – будут направлены внутрь пузырька (и наружу по отношению к (внутренней) поверхности ЖТ). Но, во-первых, кроме них на частицы жидкости на поверхности пузырька действуют  также и силы ПН, направленные наружу пузырька. Во-вторых, давление в пузырьке повысится, если равнодействующие этих сил направлены внутрь пузырька, то есть также, как Rса. В-третьих, давление повысится на величину 2*sigma/R, если эти равнодействующие будут равны Рпн. Получается некоторая путаница.

Сначала обратим внимание на то, что при погружении вглубь ЖТ Rса уменьшается (так как увеличивается количество жидкости над данной точкой – той самой, которая тянет на поверхность),а Rпн – увеличивается (согласно формуле Pпн = 2*sigma/R). Отсюда вывод: равновесие между Rса и Rпн имеется только для частиц жидкости на поверхности ЖТ. После этого возникает законное предположение: если бы силы СА и ПН подчинялись бы разным законам, то разве возможно было бы установление автоматическое равновесия между ними на поверхности ЖТ независимо от радиуса последнего? По-видимому, нет. Представим себе, что с ЖТ в СС снимают поверхностный слой жидкости, в результате чего ранее глубинные частицы жидкости станут поверхностными и, стало быть, их прежняя неуравновешенное состояние перейдет в уравновешенное. Как это объяснить? Легко: в результате этой операции на данной глубине Rпн не изменится, так как зависит только от расстояния от ЦМ ЖТ, а Rса увеличится, так как верхний, тянущий на поверхность, сегмент ЖТ окажется удаленным. В итоге равновесие на поверхности будет восстановлено. Но отсюда получаем еще один интересный вывод: с уменьшением радиуса ЖТ значение Rса на поверхности увеличивается! Это  - еще одно (непрямое, правда) подтверждение нашей гипотезе о том, что Rса подчиняются тому же закону, что и Rпн. Но как это доказать?

Посмотрим на проблему с другой стороны: если бы частицы жидкости хотя бы и на глубине были не уравновешены, то разве не возникло бы их движения. Между тем такого движения нет. Объяснить это может только следующий тезис: частицы жидкости в глубине неуравновешены, если иметь в виду действующие на них парциальные по глубине Rса и Rпн (назовем это отсутствием обособленного равновесия). Но фактически они уравновешены, так как фактически, вследствие упругости жидкости, на них действуют интегральные по глубине Rса и Rпн. При этом Rса интегрируется при движении в глубину ЖТ, а Rпн – при движении на поверхность (в сответствии со своими направлениями). Иначе говоря, на частицу жидкости в некотором слое действуют не только непосредственно действующие на нее силы Rса и Rпн, но и силы реакции от частиц всех более глубинных слоев (для Rпн) и всех более поверхностных слоев (для Rса), возникающие как раз из-за отсутствия обособленного равновесия.

Теперь возникает весьма важный вопрос: выведенная выше формула для Рпн – это формула для парциального или интегрального (по глубине) Рпн? Кто-то скажет: что это странный вопрос, ведь выводилась-то она для парциального Рпн. Так-то оно так, но только это зависит от содержания понятия коэффициент ПН, а оно не совсем ясно! Почему бы в выводе разбираемой формулы вместо равновесия малый прямоугольника на  поверхности ЖТ не рассмотреть равновесие шарового сектора прямоугольного сечения и не использовать в нем ту же формулу для сил ПН, действующих на его боковые грани? Тогда у нас и получится та же самая формула, но теперь уже для интегральной по глубине Rпн. Существуют весьма серьезные указания на то, что коэффициент ПН следует понимать именно так: 1) попытка вычислить интегральную по глубине Rпн за счет интегрирования величины 2*sigma/R  дает бесконечное значение этой величины; 2) если интегрировать 2*sigma/R по радиусу, то получается величина с размерностью, не соответствующая размерности давления. Два этих обстоятельства вынуждают нас изменить свое привычное понимание коэффициента ПН и как результат мы приходим к выводу, что если в формуле  Рса=-Рпн понимать Рса как давление интегральных по глубине Rса, то она обретает свою наипростейшую интерпретацию как действительное условие равновесия частиц жидкости независимо от их глубины. Это, в свою очередь, помогает понять, что если из ЖТ, начиная с некоторой глубины, изъять все более глубинные слои жидкости, то в любой точке на поверхности внутренней полости интегральная по глубине Rпн сановится равна 0, а интегральная же по глубине Rса остается неизменным! В итоге на этой поверхности возникает направленное внутрь полости давление[17] сил упругости, равное 2*sigma/r, где  r – радиус полости. Таким образом, возрастание давления в газовом пузырьке, погруженном внутрь ЖТ, действительно подтверждается! Но, увы, не на величину Ркап.

Причиной этого является сжимаемость газа. Будь на месте газового пузырька (шарика) шарик из твердого, а значит практически несжимаемого[18], материала, то действительно, на поверхности этого шарика возникло бы мех.напряжение величиной 2*sigma/r. Но поскольку газовый шарик сжимаем, то потенциальная энергия напряженного (и даже растянутого) состояния ЖТ распределяется между ним и газовым шариком. Сжимаемость газового шарика означает, что после установления равновесия между ним и ЖТ объем шарика уменьшится и, следовательно, уменьшится и его радиус, а мех. напряжение на его поверхности – увеличится. Но зато, вследствие уменьшения площади поверхности ЖТ (за счет внутренней ее части – смежной с поверхностью шарика) уменьшится потенциальная  энергия[19] ЖТ! И ровно на величину уменьшения последней увеличится потенциальная энергия газового шарика. Ее величину, а также конечное давление внутри газового шарика и его конечный объем, без труда можно определить, используя уравнение Менделеева-Клайперона (закон состояния идеального газа, а также рпиняв допущение о том, какого типа процесс сжатия шарика – изотермичский, к примеру, или адиабатический, хотя он может быть и не тем и не другим.

Перейдем теперь к вопросу о давлении внутри мыльных пузырей. Мыльный пузырь как раз и представляет из себя щароборазное ЖТ, у которого, начиная с некотjрой глубины, все более глубинные слои отсутствуют. И поэтому приведенный выше анализ легко помогает понять, что давление внутри мыльного пузыря вовсе не равно 2*Ркап! Ведь на газовый шар внутри мыльного пузыря (ЖТ) непосредственно действует только давление сил упругости ЖТ на внутренней  его поверхности, то есть на поверхности газового шара Следовательно, увеличение давления внутри газового шара должно скомпенсировать только это давление. Иначе говоря, увеличение давление внутри газового шара должно заменить собой интегральное давление Rпн изъятых внутренних слоев ЖТ, равное Ркап = 2*sigma/R, где R – радиус газового шара (в мыльном пузыре). Кроме того, чтобы правильно вычислить увеличение давления  внутри газового шара (Dp), здесь надо также учесть сжимаемость газа, вследствие которой Dp будет меньше величины Ркап, и причем тем меньше, чем более податлив (к сжатию) газ.

В заключение - еще один интересный момент,  на который здесь стоит обратить внимание. Задача определения повышения давления в газовом шаре, погруженном внутрь ЖТ, может быть также решена и чисто энергетическим подходом. Все очень просто: погружение шара радиусом R полностью внутрь ЖТ (за счет работы какой угодно силы или сил, то есть поля сил) увеличивает потенциальную энергию сил СА на величину sigma_са*4*Pi*R². Затем эта энергия, при помощи уравнения Менделеева-Клайперона, распределяется между ЖТ и газовым шаром. Это позволит также найти и увеличение давления в газовом шаре и конечный его объем. Этот же метод годится и для определения глубины погружения твердого тела на поверхности жидкости (без учета силы Архимеда). Но только в этом случае в качестве силы, погружающей твердое тело в жидкость, должна определенно фигурировать сила тяжести!

 

 

Эффект удержания жидкости в нижнем отверстии сосуда

 

 

                Удержание жидкости в нижнем отверстии сосуда (или трубки) для сочинителей задач по физике - едва ли не такой же по привлекательности сюжет, как и капиллярный эффект. Объяснение этому просто – нарушение закона гравитации, пусть даже кажущееся, не может не поражать воображение. Выше я уже приводил примеры решений задач на эту тему и вопросы к ним. Одна из таких задач - № 348 [1]. Авторов решения этой задачи ничуть не смутило то обстоятельство, что мениск внизу трубки выпуклый в сторону воздуха, а не вогнутый, как наверху. И поэтому, не приложив никаких усилий к анализу этого обстоятельства, они решили задачу, но…неправильно. Между тем совершенно очевидно, что тип мениска и вверху и внизу трубки должен быть одинаков и соответствовать типу смачиваемости для данной пары «жидкость-материал сосуда». Что же может изменять форму мениска? Сила тяжести! Она увеличивает кривизну верхнего мениска и уменьшает кривизну нижнего, вплоть до изменения ее знака на противоположный (это и имеет место в задаче № 348). Но насколько изменится кривизна менисков – это зависит от величины силы тяжести: чем она больше, тем больше будет изменение кривизны. Поэтому-то даже если капиллярное давление и существует (как давление поверхностного слоя на жидкость внутри), то оно неодинаково вверху и внизу трубки из-за неодинаковости радиусов кривизны верхнего и нижнего менисков.

                Но что самое поразительное в эффекте удержания, так это то, что не капиллярное давление удерживает жидкость в трубке! К этому выводу легко прийти, вспомнив, что не капиллярное давление поднимает жидкость в капиллярную трубку, а сила ТА. Следовательно, эта же сила и удерживает жидкость в трубке. Но здесь есть одно возражение: сила ТА может быть направлена и перпендикулярно (или почти перпендикулярно) стенке сосуда (как в разобранном выше случае, когда R<<H). Каким образом тогда она может сопротивляться действию силы тяжести? Следовательно, должна существать еще какая-то сила, которая тоже сопротивляется действию силы тяжести. Чтобы обнаружить ее, посмотрим на ситуацию немного под другим углом: сила тяжести стремится не просто переместить ЖТ вниз, но также и сдвинуть его относительно трубки! Следовательно, как всегда в таких случаях возникает сила трения, но покоя (пока ЖТ еще удерживается в трубке). Она всегда направлена противоположно возможному перемещению тела и поэтому будет сопротивляться силе тяжести до конца! А вместе с силой ТА она образует равнодействующую, которая и является ответной силой (со стороны сосуда) для тангенциальной силы ПН, действующей на пристенную частицу жидкости со стороны жидкости.

                Каковы условия удержания всего жидкого тела (хотя бы для случая R<<H)? В верхнем поверхностном слое ЖТ на частицы жидкости действует только собственная сила тяжести, в нижнем же поверхностном слое ЖТ на частицы жидкости действует сила тяжести всего столба ЖТ над данной частицей (то есть гидростатическое давление в данной точке). Поэтому в наихудшем положении с точки зрения удержания находятся частицы в нижнем поверхностном слое. Следовательно, если они будут удержаны, то будет удержано и все ЖТ. В нижнем же поверхностном слое есть два характерных  точки для проверки условия удержания: у стенки сосуда и на оси сосуда. У стенки сосуда условием удержания будет m*g <=Fса + Fтр.max, на оси сосуда условием удержания будет m*g <=Fса[20]. Итак, доминирующее условие удержания – у стенки сосуда. А в соответствии с законом Кулона-Амонтона Fтр.max = mu*Nс, где Nс – сила реакции сосуда (на давление со стороны жидкости). Поэтому необходимо еще и вычислить Nс. Логично предполжить, что поскольку за счет сил ТА сосуд притягивает жидкость, то частицы жидкости давят на сосуд с силой Fта[21] и, следовательно, Nс = Fта. Казалось бы,  на этом можно делать вывод: при m*g <= Fса + mu * Fта (где m – масса ЖТ, mu – коэффициент трения жидкости о стенку сосуда[22]), то данное ЖТ удержится в сосуде.

                Но не все так просто! Так как мы рассмотрели только смачивающиеся тела. Что же касается немачивающихся, то Fта для них отрицательна, то есть они не притягивают, а отталкивают жидкость, не оставляя, следовательно, никаких надежд на возникновение силы трения. Между тем интуиция подсказывает, что и в данной ситуации существует сила, прижимающая жидкость к стенке сосуда! Так и есть, все дело в том, что ЖТ, приобретшее хотя бы в некоторой степени форму сосуда,  - это деформированное тело и поэтому в нем имеются, безусловно, силы упругости, стремящиеся возвратить его в первоначальное недеформированное состояние. Недеформированным состоянием ЖТ является, как было выяснено выше ЖТ в форме шара. Таким образом, всякое отклонение формы ЖТ от шарообразной должно вызывать в нем силы упругости.

                Рассмотрим обособленное ЖТ в деформированном состоянии. Пусть оно имеет форму приплюснутого сверху и снизу эллипсоида вращения. Очевидно, что при такой форме ЖТ должны существовать силы, стремящиеся растянуть его в направлению верх-низ и сжать его в направлении справа-налево. Но обращение к старой знакомой – силе ПН не дает никакого результата, ибо согласно формуле Рпн = 2*sigma / R эта сила, направленная на выпуклых участках поверхности ЖТ наружу ЖТ, убывает при увеличении R (а это происходит на верхнем и нижнем участках поверхности ЖТ) и возрастает при уменьшении R (а это происходит на боковом участке поверхности ЖТ). Возникновение же сил упругости требует противоположных изменений сил ПН: при увеличении радиуса (вверху и внизу) возрастать, а при уменьшении радиуса (по бокам) – убывать. А также требует противного этому от сил СА, направленных внутрь ЖТ, то есть сверху и снизу убывать, по бокам – возрастать (по сравнению с их значаниями в свободном состоянии ЖТ). Однако если удастся объяснить, почему происходят такие измения с силами СА, это все равно не объяснит весь эффект полностью. Во-первых потому, что по бокам силы ПН тоже возрастают неизвестно, не возрастают ли они больше, чем возрастают силы СА. Во-вторых потому, что сверху и снизу так или иначе должны возрастать некие силы, направленные также, как и силы ПН – наружу.

                Но мы, кажется, делим уже шкуру неубитого медведя. Приступим сначала к анализу изменнений величины сил СА. Проведем через ЦМ ЖТ вертикальную плоскость. Рассмотрим величину силы СА в какой-нубудь точке на этой плоскости, кроме ЦМ. Поскольку ЦМ боковых половин ЖТ находятся дальше от этой точки по сравнению со свободным состоянием ЖТ, то и сила СА в этой точке, равная векторно й сумме сил СА от каждой боковой половины ЖТ, будет меньше, чем при свободном состоянии (СС) ЖТ. Проведем теперь через ЦМ ЖТ горизональную плоскость и рассмотрим величину силы СА в некоторой точке на этой плоскости, кроме ЦМ ЖТ. Так как по сравнению с СС ЖТ ЦМ верхней и нижней половин ЖТ приблизились к данной точке, то равнодействующая сил СА в этой точке увеличится. Именно таких, как известно изменений сил СА и требует объяснение возникновения сил упругости в ЖТ.

                Объясним теперь возникновение на верхнем и нижнем участках поверхности ЖТ неких сил, направленных, подобно равнодействующим сил ПН наружу ЖТ. Для этого проведем через ЦМ ЖТ наклонную плоскость. Эта плоскость и проведенная ранее вертикальная при пересечении с поверхностью ЖТ дают точку. Рассмотрим равнодействующую сил СА в этой точке. Поскольку направлена она, как и обычно, к ЦМ ЖТ, то линия ее действия в данной точке не перепендикулярна поверхности ЖТ! Это означает, что кроме нормальной составляющей она имеет касательную к поверхности ЖТ составляющую. Назовем эту составляющую силой смещения. Легко видеть, что силы смещения отличны от нуля вдоль свего протяжения меридианов поверхности ЖТ, за исключением всех точек экватора и полюсов, причем направлены они на всей верхней половине поверхности ЖТ вверх по меридиану, а в нижней половине поверхности – вниз по меридиану. Таким образом, их равнодействующие на полюсах направлены перпендикулярно к поверхности и наружу ЖТ, на  экваторе также перпендикулярно к поверхности и внутрь ЖТ, а во всех остальных токах поверхности ЖТ так же, как и парциальные силы смещения – по касательной к меридиану соответственно вверх и вниз. Эти заключения находятся в полном соответствии с требуемым для объяснения наличия сил упругости в деформированном ЖТ.

                С только что обнаруженными нами силами смещения связано объяснение еще двух феноменов: 1) наличием на плоских участках поверхности ЖТ (возникновение которых неизбежно при контакте с твердыми телами) отличных от нуля сил, по действию полностью эквивалентных силам ПН, но их самих, так как по известной формуле в такой ситуации Fпн равны нулю[23]; 2) если компенсировать внешними силами равнодействующие сил смещения (Fсм) только на обоих полюсах или только во всех точках экватора, то их действие (за счет передачи вдоль меридианов) компенсируется на всей поверхности ЖТ. ДО обнаружения сил смещения эти феномены казались бы необъяснимой загадкой.

                Итак, выше был рассмотрен эффект удержания жидкости в нижнем отверстии сосуда или трубки, и выведено условие удержания жидкости, а заодно рассмотрено деформированное состояние ЖТ и объяснено возникновение в нем сил упругости, которые имеют непосредственное отношение к выводимому нами условию удержания жидкости. Отсюда следует, в условие удержания жидкости в нижнем отверстии трубки нужно добавить в качестве сил, прижимающих ЖТ к стенке трубки, равнодействующие сил ПН и сил смещения на поверхности ЖТ, смежной со стенкой трубки. То же самое относится и условию удержания трубки жидкости в нижнем отверстии сосуда с учетом следующих замен понятий: вместо ЖТ – удерживаемая трубка жидкости, а вместо стенка трубки – поверхность жидкости, контактирующая с удерживаемой трубкой жидкости. Единственный досадный момент состоит в том, что нам пока не удалось объяснить связь условия удержания жидкости в нижнем отверстии сосуда с радиусом этого отверстия. Однако объяснение этому найти нетрудно: пока R<<H, равнодействующая Fсм на экваторе ЖТ направлена внутрь ЖТ (поскольку оно растянуто в вертикальном направлении), но как только R -> H, величина Rсм -> 0 и поэтому все менее вероятным становится то, что Rсм (вместе с иногда отсутствующей Rпн) превзойдет все остальные нормальные к стенке трубки силы, для которых не исключено, что они могут быть направлены (или иметь составляющую) от стенки трубки (Rта и Rса).

 

 

Упражнения

 

 

                Полагая, что на настоящий момент коррекция теории ПН наконец-то закончена и поэтому читатели исчерпывающе разобрались во всех тонкостях этой теории, предлагаю им в качестве упражнений два вопроса, правильные ответы на которые читатели могут найти самостоятельно:

1)       объясните эффект притяжения друг другом двух твердых тел, находящихся на поверхности жидкости, если тела имеют к жидкости ТА одного знака;

2)       объясните эффект отталкивания друг другом двух твердых тел на поверхности жидкости, если тела имеют к жидкости ТА разных знаков.

Кроме того, автор надеется, что читатели впишут новые страницы в дело развития скорректированной теории ПН. Ведь часть 3 намеченного плана пока не написана!