Какие бывают задачи?
Многие видели уже много задач, но никогда не задумывались над тем, какие же они бывают? Ну, например, все ли задачи разрешимы?
(Я имею в виду школьные (учебные) задачи. А точнее – такие, где есть разделы «дано» и «найти». То есть задачи познавательные. Хотя очень даже может быть, что то, что я сейчас скажу про эти задачи, можно распространить и на задачи другого типа – задачи действия. Которые в школе задавать как-то не принято. Разве что на уроках физкультуры.)
Как-то само собой всегда разумелось, что если уж задача задана, то и её решение существует. А если она у тебя не решается, то это ты сам виноват – плохо учишь предмет. Отчасти в этом соображении есть резон. Но только отчасти. Потому что есть и другая часть неразрешимости задачи
(хотя и, в общем-то, формальная. Но разве преподавание в школе (большей частью) не формальный процесс? А тем более вступительные экзамены?)
Я имею в виду несбалансированность условия задачи, то есть несоответствие друг другу 2-х его частей – «дано» и «найти».
Пусть некая задача решается с помощью мат.модели (а точнее - некоей задаче соответствует мат.модель), состоящая из двух уравнений:
D=f(a,b,c)
E=g(a,c)
В этой модели, как видно, 5 переменных и 2 связи. Поэтому, стало быть, 5-2=3 степени свободы. Что это означает? То, что для разрешимости данной задачи в «дано» должно быть заданы значения 3-х переменных
(причем сюда входят и такие неординарные случаи, когда значения переменных принимаются равными 0 или бесконечности. (что в физике – (далеко) не редкость) И часто задаются (в этом случае) в неявном виде. Что особенно важно знать, чтобы не пропустить такие данные.
Вот почему эта тема заслуживает отдельного разговора.)
Не входят сюда также и случаи, когда конкретные переменные (их значения) просто объявляются известными. Кстати, это, и очень часто, вызывает замешательство у учащихся. Причина тому (на наш взгляд) – культивирование (а точнее – слишком затянувшееся культивирование) так называемой арифметичности задач (см. ниже), в силу которой решение ищется не через построение модели задачи, а через построение плана её решения. Но тогда как от плана решения еще можно придти к модели задачи (так как она в нем (неявно) содержится), есть и такой подход (к обучению), который вызывает еще большие погрешности в его результатах – это вообще игнорирование построения плана. Когда сразу берутся числа (из данных задачи) и с ними делаются какие ни попадя математические действия. Такой подход в принципе отвергает существование модели (решения) задачи.),
а в «найти» - 2-х. Это и есть состояние сбалансированности условий данной задачи.
(И совершенно не имеет значения, имеют ли все уравнения модели корни (или их несколько). Потому что в этом случае будет идти речь уже о математической
(а не о собственно-предметной
(например, физической. Кстати, когда мы решаем задачи про бассейн с трубами или работников, роющих канаву (так называемые «текстовые задачи»), это не значит, что мы решаем задачу по арифметике (ил алгебре). Потому что за этими задачами так или иначе стоит какой-то предмет (и неважно, что он не имеет (устоявшегося) названия). Именно он и дает модель задачной ситуации – связь между переменными задачи.
Непонимание этого обстоятельства как раз и вызывает трудности при решении таких (квазиматематических) задач)
)
неразрешимости (или сверхразрешимости – когда корней много) задачи. Тогда как в данной статье идет речь о предметной неразрешимости.)
Допустим теперь, что в условиях задачи «дано» значения 2-х переменных (например, a и e), а требуется «найти» – тоже 2-х (например, b и c)
(Само собой разумеется, что вариант, когда множество «найти» пересекается с множеством «дано», я исключаю. Как не имеющий … смысла. Какого смысла? Не физического – точно. Потому что здесь еще о физике и речи не идет. Математического? Логического? На мой взгляд, корректнее всего сказать – когнитологического смысла.)
В этом случае мы получим 1-й случай (формальной, повторяюсь) неразрешимости - «недостаточность данных».
Другой случай неразрешимости, как понятно, получится, если в «дано» задано 4 значения (например, a,b,c,e), а требуется «найти» - 1 значение (d). Этот случай логично назвать «избыточность условий». Но избыточность условий – отнюдь еще не разрешимость. Потому что здесь может быть 2 варианта: тройка данных из «дано» (a,c,e) может как не соответствовать 2-ому уравнению модели (и тогда мы действительно получаем 2-ой случай неразрешимости – «несовместимость данных»), так и соответствовать (и тогда мы получаем просто «избыточность данных». Пример задачи такого типа см. в Ну очень трудные задачи, задача № 1)