5 параграфов с решениями задач на самые азы геометрии: простейшие геометрические фигуры и их основные свойства, углы, треугольники; а также геометрические построения.

Довольно мало рисунков, что, в общем-то, странно для учебника по геометрии (но не так странно, если учесть что решебник для 7 класса, поскольку многие задачи решаются без построения).

§ 1. Основные свойства простейших геометрических фигур

Прямые, точки, отрезки — то, вокруг чего вертится всё повествование параграфа. «Проведите прямую через точку», «поставьте точку на прямой», «соедините отрезок с прямой» и подобное. Решение некоторых задач не приводится, т.к. оно приведено в учебнике.

• № 1. 1) Проведите прямую. Отметьте какую-нибудь точку А, лежащую на прямой, и точку В, не лежащую на прямой. 2) Проведите две пересекающиеся прямые а и b. Отметьте точку С пересечения прямых: точку А на прямой а, не лежащую на прямой b; точку D, не лежащу
• № 2. Отметьте на листе бумаги две точки. Проведите через них от руки прямую. С помощью линейки проверьте правильность построения
• № 3. Могут ли две прямые иметь две точки пересечения?
• № 4. Для проверки правильности линейки применяют такой способ. Через две точки с помощью линейки проводят линию. Затем линейку переворачивают и через те же точки снова проводят линию. Если линии не совпадают, то линейка неправильная. На каком свойстве пря
• № 5. Проведите прямую а. Отметьте на прямой две какие-нибудь точки А и В. Отметьте теперь точку С так, чтобы точка А лежала между точками В и С
• № 6. Проведите прямую а. Отметьте на прямой две какие-нибудь точки А и В. Отметьте теперь какую-нибудь точку С отрезка АВ
• № 7. Точка М лежит на прямой CD между точками С и D. Найдите длину отрезка CD, если 1)СМ = 2,5 см, MD = 3,5 см; 2) СМ = 3,1 дм, MD = 4,6 дм; 3) СМ = 12,3 м, MD = 5,8 м
• № 9. Три точки А, В, С лежат на одной прямой. Известно, что АВ = 4,3 см АС = 7,5 см, ВС = 3,2 см. Может ли точка А лежать между точками В и С? Может ли точка С лежать между точками А и В? Какая из трех точек А, В, С лежит между двумя другими?
• № 10. Точки А, В, С лежат на одной прямой. Принадлежит ли точка В отрезку АС, если АС = 5 см, ВС = 7 см? Объясните ответ
• № 11. Точки А, В, С лежат на одной прямой. Может ли точка В разделять точки А и С, если АС = 7 м, ВС = 7,6 м? Объясните ответ
• № 12. Могут ли точки А, В, С лежать на одной прямой, если АВ = 1,8 м, АС = 1,3 м, ВС = 3 м? Объясните ответ
• № 13. Могут ли три точки А, В, С лежать на одной прямой, если длина большего отрезка АВ меньше суммы длин отрезков АС и ВС? Объясните ответ
• № 14. Точки А, В, С лежат на одной прямой. Найдите длину отрезка ВС, если АВ = 2,7 м, АС = 3,2 м. Сколько решений имеет задача?
• № 15. На отрезке АВ длиной 15 м отмечена точка С. Найдите длины отрезков АС и ВС, если: 1) отрезок АС на 3 м длиннее отрезка ВС; 2) отрезок АС в два раза длиннее отрезка ВС; 3) точка С — середина отрезка АВ; 4) длины отрезков АС и ВС относятся как 2:3
• № 16. Проведите прямую и отметьте какую-нибудь точку А, не лежащую на этой прямой. Отметьте теперь две точки В и С так, чтобы отрезок АВ пересекал прямую, а отрезок ВС не пересекал ее
• № 17. Дана прямая и три точки А, В, С, не лежащие на этой прямой. Известно, что отрезок АВ пересекает прямую, а отрезок АС не пересекает ее. Пересекает ли прямую отрезок ВС? Объясните ответ
• № 18. Даны прямая и четыре точки А, В, С и D, не лежащие на этой прямой. Пересекает ли прямую отрезок AD, если: 1) отрезки АВ, ВС и CD пересекают прямую; 2) отрезки АС и ВС пересекают прямую, а отрезок BD не пересекает; 3) отрезки АВ и CD пересекают пряму
• № 19. Даны пять точек и прямая, не проходящая ни через одну из этих точек. Известно, что три точки расположены в одной полуплоскости относительно этой прямой, а две точки — в другой. Каждая пара точек соединена отрезком. Сколько отрезков пересекает прямую
• № 20. Даны прямая a и точки А, X, У, Z на этой прямой. Известно, что точки X, У лежат по одну сторону от точки А, точки X и Z тоже лежат по одну сторону от точки А. Как расположены точки У и Z относительно точки А: по одну сторону или по разные стороны? О
• № 21. Отметьте две точки А и В. Проведите полупрямую АВ
• № 22. На отрезке АВ взята точка С. Среди полупрямых АВ, АС, СА, СВ назовите пары совпадающих полупрямых, дополнительных полупрямых. Объясните ответ
• № 24. Луч а проходит между сторонами угла (cd). Найдите угол (cd), если 1) ∠(ac) = 35°, ∠(ad) = 75°; 2)∠(ac) = 57°, ∠(ad) = 62°; 3) ∠(ac) = 94°, ∠(ad) = 85°
• № 25. Может ли луч С проходить между сторонами угла (ab), если 1) ∠(ac) = 30°, ∠(cb) = 80°, ∠(ab) = 50°; 2) ∠(ac) = 100°, ∠(cb) = 90°; 3) угол (ас) больше угла (ab)?
• № 26. Между сторонами угла (ab), равного 60°, проходит луч c. Найдите углы (ос) и (bc), если 1) угол (ас) на 30° больше угла (bс); 2) угол (ас) в два раза больше угла (bс); 3) луч c делит угол (ab) пополам; 4) градусные меры углов (ас) и (bс) отно
• № 29. Существует ли на полупрямой АВ такая точка X, отличная от В, что АХ = АВ? Объясните ответ
• № 30. На луче АВ отложен отрезок АС, меньший отрезка АВ. Какая из трех точек А, В, С лежит между двумя другими? Объясните ответ
• № 31. На луче АВ отмечена точка С. Найдите длину отрезка ВС, если: 1) АВ = 1,5 м, АС = 0,3 м; 2) АВ = 2 см, АС = 4,4 см
• № 33. На стороне АВ треугольника АВС взята точка D. Чему равна сторона АВ треугольника, если AD = 5 см, а BD = 6 см?
• № 34. На стороне АВ треугольника АВС взята точка D. Найдите угол С треугольника, если ∠ACD = 30°, а ∠BCD = 70°
• № 36. Треугольники АВС и PQR равны. Известно, что АВ = 5 см, ВС = 6 см, АС = 7 см. Найдите стороны треугольника PQR. Объясните ответ
• № 37. Треугольники АВС и PQR равны. Углы второго треугольника известны: ∠P = 40°, ∠Q = 60°, ∠R = 80°. Найдите углы треугольника АВС
• № 38. Треугольники АВС и PQR равны. Известно, что сторона АВ равна 10 м, а угол С равен 90°. Чему равны сторона PQ и угол R? Объясните ответ
• № 39. Треугольники АВС, PQR и XYZ равны. Известно, что АВ=5 см, QR=6 см, ZX=7 см. Найдите остальные стороны каждого треугольника
• № 40. Дан треугольник АВС. Существует ли другой, равный ему треугольник ABD?
• № 41. Может ли прямая, пересекающая одну из двух параллельных прямых, не пересекать другую? Объясните ответ
• № 42. Даны две пересекающиеся прямые. Можно ли провести третью прямую, параллельную каждой из двух данных?
• № 43. Может ли прямая, не проходящая ни через одну из вершин треугольника, пересекать каждую его сторону? Почему?
• № 44*. Даны четыре различные точки А, В, С и D. Известно, что точки А, В, С лежат на одной прямой и точки В, С, D также лежат на одной прямой. Докажите, что все четыре точки А, В, С, D лежат на одной прямой
• № 45*. Даны четыре прямые а, b, с и d. Известно, что прямые а, b, с пересекаются в одной точке и прямые b, с, d также пересекаются в одной точке. Докажите, что все четыре данные прямые проходят через одну точку
• № 46*. Точки А, В, С, D не лежат на одной прямой. Известно, что прямая АВ пересекает отрезок CD, а прямая CD пересекает отрезок АВ. Докажите, что отрезки АВ и CD пересекаются
• № 47*. Дан треугольник АВС. На стороне АС взята точка B1 а на стороне ВС — точка A1. Докажите, что отрезки АА1 и ВВ1 пересекаются
• № 48*. Отрезки АВ и CD, не лежащие на одной прямой, пересекаются в точке Е. Докажите, что отрезок АС не пересекает прямую BD
• № 49*. Докажите, что если луч, исходящий из вершины угла, пересекает отрезок АВ с концами на сторонах угла, то он пересекает 1) отрезок АС с концами на сторонах угла; 2) любой отрезок CD с концами на сторонах угла
• № 50. Докажите, что две прямые либо параллельны, либо пересекаются в одной точке
• № 51*. Точки А и С принадлежат прямой а. На полупрямой СА отложен отрезок СВ, больший отрезка СА. 1) Какая из трех точек А, В, С лежит между двумя другими? Объясните ответ. 2) Докажите, что точка А разбивает прямую а на две полупрямые АВ и АС

§ 2. Смежные и вертикальные углы

Всё о смежных и вертикальных углах. Один смежный угол легко найти, если из 180° вычесть другой смежный угол, поэтому, чтобы не было совсем просто, авторы старались покруче завернуть задачи. Но задачи и решения всё равно простые (если же вы на чём-то запнулись,- вы попали куда надо =).

• № 5. Какой угол образуют часовая и минутная стрелки часов, когда они показывают 1) 6 ч; 2) 3 ч; 3) 4 ч?
• № 11. Один из углов, которые получаются при пересечении двух прямых, на 50° меньше другого. Найдите эти углы
• № 12. Найдите углы, которые получаются при пересечении двух прямых, если сумма трех из этих углов равна 270°
• № 1. Найдите углы, смежные с углами 30°; 45°; 60°; 90°
• № 2. Могут ли два смежных угла быть оба 1) острыми, 2) тупыми; 3) прямыми? Обоснуйте ответ
• № 3. Найдите смежные углы, если один из них в два раза больше другого
• № 4. Найдите смежные углы, если 1) один из них на 30° больше другого; 2) их разность равна 40°; 3) один из них в 3 раза меньше другого; 4) они равны
• № 6. Найдите смежные углы, если их градусные меры относятся как 1) 2:3; 2) 3:7; 3) 11:25; 4) 22:23
• № 7. Один из углов, которые получаются при пересечении двух прямых, равен 30°. Чему равны остальные углы?
• № 8. Чему равен угол, если два смежных с ним угла составляют в сумме 100°?
• № 9. Сумма двух углов, которые получаются при пересечении двух прямых, равна 50°. Найдите эти углы
• № 10. Один из углов, образованных при пересечении двух прямых, в 4 раза больше другого. Найдите эти углы
• № 13. Докажите, что если три из четырех углов, которые получаются при пересечении двух прямых, равны, то прямые перпендикулярны
• № 14. Как с помощью линейки проверить, является ли прямым угол в чертежном угольнике?
• № 15. Чему равен угол между биссектрисой и стороной данного угла, равного 1) 30°; 2) 52°; 3) 172°?
• № 16. Найдите угол, если его биссектриса образует со стороной угол, равный 1) 60°; 2) 75°; 3) 89°
• № 17. Докажите, что биссектриса угла образует с его сторонами углы не больше 90°
• № 18*. Докажите, что если луч исходит из вершины угла и образует с его сторонами равные острые углы, то он является биссектрисой угла
• № 19. Найдите угол между биссектрисами смежных углов
• № 20. Докажите, что биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой
• № 21. Найдите угол между биссектрисой и продолжением одной из сторон данного угла, равного 1) 50°; 2) 90°; 3) 150°
• № 22*. Из вершины О смежных углов АОВ и СОВ проведен луч OD в полуплоскость, где проходит общая сторона углов ОВ. Докажите, что луч OD пересекает либо отрезок АВ, либо отрезок ВС. Какой из отрезков пересекает луч OD, если угол AOD меньше (больше) угла АОВ
• № 23. Из вершины развернутого угла (aa1) в одну полуплоскость проведены лучи b и с. Чему равен угол (bc), если 1)∠(ab) = 50°; ∠(ac) = 70°; 2)∠(ab) = 50°; ∠(ac) = 70°; 3) ∠(ab) = 60°; ∠(a1c) = 30°?
• № 24. Из вершины развернутого угла (аа1) проведены лучи b и с в одну полуплоскость. Известно, что ∠(ab) = 60°, ∠(ac) = 30°. Найдите углы (a1b), (a1c) и (bc)
• № 25. От полупрямой АВ в разные полуплоскости отложены углы ВАС и BAD. Найдите угол CAD, если 1) ∠BAC = 80°, ∠BAD = 170°; 2) ∠BAC = 87°, ∠BAD = 98°; 3) ∠BAC = 140°, ∠BAD = 30°; 4) ∠BAC = 60°, ∠BA
• № 26*. Даны три луча а, b, с с общей начальной точкой. Известно, что ∠(ab) = ∠(ac) = ∠(bc) = 120°
• № 24. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена медиана ВМ. На ней взята точка D. Докажите равенство треугольников: 1) ABD и CBD; 2) AMD и CMD

§ 3. Признаки равенства треугольников

Практически к каждой задаче есть рисунок, т.к с построением намного проще представить условие задачи. Медианы, биссектрисы, перпендикуляры,- всё это в изобилии присутствует, ибо зачастую необходимо для решения задач о равенстве треугольников.

• № 1. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Чему равен отрезок BD, если отрезок АС = 10 м?
• № 2. Через середину О отрезка АВ проведена прямая, перпендикулярная прямой АВ. Докажите, что каждая точка Х этой прямой одинаково удалена от точек А и В
• № 3. На стороне АВ треугольника АВС взята точка D, а на стороне А1В1 треугольника А1В1С1 взята точка D1. Известно, что треугольники ADC и A1D1C1 равны и отрезки DB и D1B1 равны. Докажите равенство треугольников АВС и А1В1С1
• № 4. Чтобы измерить на местности расстояние между двумя точками А и В, между которыми нельзя пройти по прямой, выбирают такую точку С, из которой можно пройти и к точке А, и к точке В и из которой видны обе эти точки. Измеряют расстояния АС и ВС, продолжа
• № 5. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О. Докажите равенство треугольников АСО и DBO, если известно, что угол АСО равен углу DBO и ВО = СО
• № 6. Отрезки АС и BD пересекаются в точке О. Докажите равенство треугольников ВАО и DCO, если известно, что угол ВАО равен углу DCO и АО = СО
• № 7. Докажите равенство треугольников по медиане и углам, на которые медиана разбивает угол треугольника
• № 8. Чтобы измерить на местности расстояние между двумя точками А и В, из которых одна (точка А) недоступна, провешивают направление отрезка АВ и на его продолжении отмеряют произвольный отрезок ВЕ. Выбирают на местности точку D, из которой видна точка А
• № 9. Периметр равнобедренного треугольника равен 1 м, а основание равно 0,4 м. Найдите длину боковой стороны
• № 10. Периметр равнобедренного треугольника равен 7,5 м, а боковая сторона равна 2 м. Найдите основание
• № 11. Периметр равнобедренного треугольника равен 15,6 м. Найдите его стороны, если основание: 1) меньше боковой стороны на 3 м; 2) больше боковой стороны на 3 м
• № 12. Докажите, что у равностороннего треугольника все углы равны
• № 13. От вершины С равнобедренного треугольника АВС с основанием АВ отложены равные отрезки: СА1 на стороне СА и СВ1 на стороне СВ. Докажите равенство треугольников 1) САВ1 и СВА1. 2) АВВ1 и ВАА1
• № 14. На основании АВ равнобедренного треугольника АВС даны точки А1 и В1. Известно, что АВ1 = ВА1. Докажите, что треугольники АВ1С и ВА1С равны
• № 15. Треугольники АСС1 и ВСС1 равны. Их вершины А и В лежат по разные стороны от прямой СС1. Докажите, что треугольники АВС и АВС1 равнобедренные
• № 16. Сформулируйте и докажите теорему, обратную утверждению задачи 12
• № 17. На сторонах АС и ВС треугольника АВС взяты точки С1 и С2. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный, если треугольники АВС1 и ВАС2 равны
• № 18. 1) Докажите, что середины сторон равнобедренного треугольника являются также вершинами равнобедренного треугольника. 2) Докажите, что середины сторон равностороннего треугольника являются также вершинами равностороннего треугольника
• № 20. Докажите, что у равнобедренного треугольника: 1) биссектрисы, проведенные из вершин при основании, равны; 2) медианы, проведенные из тех же вершин, тоже равны
• № 21. Докажите, что у равных треугольников ABC и A1B1C1: 1)медианы, проведенные из вершин А и А1, равны; 2) биссектрисы, проведенные из вершин А и А1, равны
• № 22. Точки А, С, В, D лежат на одной прямой, причем отрезки АВ и CD имеют общую середину. Докажите, что если треугольник АВЕ равнобедренный с основанием АВ, то треугольник CDE тоже равнобедренный с основанием CD
• № 23. Докажите равенство треугольников по углу, биссектрисе этого угла и стороне, прилежащей к этому углу
• № 25. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный, если у него 1) медиана BD является высотой; 2) высота BD является биссектрисой; 3) биссектриса BD является медианой
• № 26. Даны два равнобедренных треугольника с общим основанием. Докажите, что их медианы, проведенные к основанию, лежат на одной прямой
• № 27. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена медиана BD. Найдите ее длину, если периметр треугольника АВС равен 50 м, а треугольника ABD — 40 м
• № 28. Докажите, что биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная из вершины, противолежащей основанию, является медианой и высотой
• № 29. У треугольников АВС и А1В1С1 АВ = А1В1, АС = А1С1, ∠С = ∠С1 = 90°. Докажите, что ΔABC = ΔA1B1C1
• № 30. Докажите, что у равнобедренного треугольника высота а, опущенная на основание, является медианой и биссектрисой
• № 31. Треугольники АВС и АВС1 равнобедренные с общим основанием АВ. Докажите равенство треугольников АСС1 и ВСС1
• № 32*. Точки А, В, С, D лежат на одной прямой. Докажите, что если треугольники АВЕ1 и АВЕ2 равны, то треугольники CDE1 и CDE2 тоже равны
• № 33. Два отрезка АВ и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Докажите равенство треугольников ACD и BDC
• № 34. Докажите равенство треугольников по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из них
• № 35. Отрезки АВ и CD пересекаются. Докажите, что если отрезки АС, СВ, BD и AD равны, то луч АВ является биссектрисой угла CAD и луч CD — биссектрисой угла АСВ
• № 36. Докажите, что в № 35 прямые АВ и CD перпендикулярны
• № 37. Треугольники АВС и BAD равны, причем точки С и D лежат по разные стороны от прямой АВ. Докажите, что 1) треугольники CBD и DAC равны; 2) прямая CD делит отрезок АВ пополам
• № 38. Отрезки равной длины АВ и CD пересекаются в точке О так, что АО = OD. Докажите равенство треугольников АВС и DCB
• № 39. Докажите равенство треугольников по двум сторонам и медиане, исходящим из одной вершины
• № 40. Докажите равенство треугольников по стороне, медиане, проведенной к этой стороне, и углам, которые образует с ней медиана

§ 4. Сумма углов треугольника

Сумма углов треугольника всегда 180°. Это практически всё что вам нужно знать для решения задач этого раздела (+немного соображалки, но она везде нужна).

• № 5. Дан треугольник АВС. На стороне АВ отмечена точка В1, а на стороне АС — точка С1. Назовите внутренние односторонние и внутренние накрест лежащие углы при прямых АВ, АС и секущей В1С1
• № 15. Один из углов, которые получаются при пересечении двух параллельных прямых секущей, равен 72°. Найдите остальные семь углов
• № 19. Найдите углы треугольника, если они пропорциональны числам 1) 1, 2, 3; 2) 2, 3, 4; 3) 3, 4, 5; 4) 4, 5, 6; 5) 5, 6, 7
• № 33. Найдите углы треугольника, зная, что внешние углы при двух его вершинах равны 120° и 150°
• № 1. Докажите, что если некоторая прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую
• № 2. Докажите, что если две прямые пересекаются, то любая третья прямая пересекает по крайней мере одну из этих прямых
• № 3. Дано: a || b || с || d. Докажите, что a || d
• № 4. Прямые АВ и CD параллельны. Докажите, что если отрезок ВС пересекает прямую AD, то точка пересечения принадлежит отрезку AD
• № 6. Назовите внутренние накрест лежащие и внутренние односторонние углы на рисунке
• № 7. Отрезки AD и ВС пересекаются. Для прямых АС и BD и секущей ВС назовите пару внутренних накрест лежащих углов. Для тех же прямых и секущей АВ назовите пару внутренних односторонних углов. Объясните ответ
• № 8. Даны прямая АВ и точка С, не лежащая на этой прямой. Докажите, что через точку С можно провести прямую, параллельную прямой АВ
• № 9. Докажите, что биссектрисы внутренних накрест лежащих углов, образованных параллельными и секущей, параллельны, то есть лежат на параллельных прямых
• № 10. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке Е и делятся этой точкой пополам. Докажите, что прямые АС и BD параллельны
• № 11. Треугольники ЛВС и BAD равны. Точки С и D лежат по разные стороны от прямой AB. Докажите, что прямые AC и BD параллельны
• № 12. Угол ABC = 80°, а угол BCD = 120°. Могут ли прямые AB и CD быть параллельными? Обоснуйте ответ
• № 13. Прямые АС и BD параллельны, прячем точки А и D лежат по разные стороны от секущей ВС. Докажите, что 1) углы DBC и АСВ — внутренние накрест лежащие относительно секущей ВС; 2) луч ВС проходит между сторонами угла ABD; 3) углы САВ и DBA — внутренние о
• № 14. 1) Разность двух внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей равна 30°. Найдите эти углы
• № 16. Один из углов, которые получаются при пересечении двух параллельных прямых секущей, равен 30°. Может ли один из остальных семи углов равняться 70°? Объясните ответ
• № 17. Докажите, что две прямые, параллельные перпендикулярным прямым, сами перпендикулярны
• № 18. Найдите неизвестный угол треугольника, если у него два угла равны 1) 50° и 30°; 2) 40° и 75°; 3) 65° и 80°; 4) 25° и 120°
• № 20. Может ли в треугольнике быть: 1) два тупых угла; 2) тупой и прямой углы; 3) два прямых угла?
• № 21. Может ли быть тупым угол при основании равнобедренного треугольника?
• № 22. Найдите угол между боковыми сторонами равнобедренного треугольника, если угол при основании у него равен 1) 40°; 2) 55°; 3) 72°
• № 23. Найдите угол при основании равнобедренного треугольника, если угол между боковым сторонами равен 1) 80°; 2) 120°; 3) 30°
• № 24. Один из углов равнобедренного треугольника равен 100°. Найдите остальные углы
• № 25. Один из углов равнобедренного треугольника равен 70°. Найдите остальные углы. Сколько решений имеет задача?
• № 26. Докажите, что если один из углов равнобедренного треугольника равен 60°, то этот треугольник равносторонний
• № 27. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена биссектриса CD. Найдите углы треугольника АВС, если угол ADC равен 1) 60°; 2) 75°; 3) α
• № 28. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС и углом при вершине В, равным 36°, проведена биссектриса AD. Докажите, что треугольники CDA и ADB равнобедренные
• № 29. В треугольнике АВС проведены биссектрисы из вершин А и В. Точка их пересечения обозначена D. Найдите угол ADB, если 1) АА = 50°, АВ = 100°; 2) АА = α, АВ = β;; 3) АС = 130°; 4) АС = &gamma
• № 30. Чему равны углы равностороннего треугольника?
• № 31. Под каким углом пересекаются биссектрисы двух внутренних односторонних углов при параллельных прямых?
• № 32. Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 70°. Найдите углы треугольника
• № 34. Два внешних угла треугольника равны 100° и 150°. Найдите третий внешний угол
• № 35. В треугольнике АВС проведена высота CD. Какая из трех точек А, В, D лежит между двумя другими, если углы А и В треугольника острые?
• № 36. В треугольнике АВС проведена высота CD. Какая из трех точек А, В, D лежит между двумя другими, если угол А тупой? Обоснуйте ответ
• № 37. Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна основанию
• № 38. Сумма внешних углов треугольника АВС при вершинах А и В, взятых по одному для каждой вершины, равна 240°. Чему равен угол С треугольника?
• № 39. Треугольник АВС. На продолжении стороны АС отложены отрезки AD = АВ и СЕ = СВ. как найти углы треугольника DBE, зная углы треугольника АВС?
• № 40. У треугольника один из внутренних углов равен 30°, а один из внешних 40°. Найдите остальные внутренние углы треугольника
• № 41. Из вершины прямого угла треугольника АВС проведена высота BD. Найдите угол CBD, зная, что 1) ∠A = 20°; 2) ∠A = 65°; 3) ∠A = α
• № 42. Из вершины тупого угла В треугольника АВС проведена высота BD. Найдите углы треугольника ABD и CBD, зная, что ∠А = α, ∠В = β
• № 43. Докажите, что в прямоугольном треугольнике с углом 30° катет, противолежащий этому углу, равен половине гипотенузы
• № 44. Найдите углы прямоугольного равнобедренного треугольника
• № 45. В равностороннем треугольнике АВС проведена медиана AD. Найдите углы треугольника ABD
• № 46. Высоты треугольника АВС, проведенные из вершин А и С, пересекаются в точке М. Найдите ∠АМС, если ∠А = 70°, ∠С = 80°
• № 47. В треугольнике АВС медиана BD равна половине стороны АС. Найдите угол В треугольника
• № 48. Прямая а пересекает отрезок ВС в его середине. Докажите, что точки В и С находятся на одинаковом расстоянии от прямой а
• № 49. Отрезок ВС пересекает прямую а в точке О. Расстояния от точек В и С до прямой а равны. Докажите, что точка О является серединой отрезка ВС
• № 50. Докажите, что расстояния от любых двух точек прямой до параллельной прямой равны
• № 51. Докажите, что расстояния от вершин равностороннего треугольника до прямых, содержащих противолежащие им стороны, равны

§ 5. Геометрические построения

Наконец-то появляются окружности. В параграфе сплошные «докажите или опровергните», иногда присутствуют «постройте».

• № 11. Окружности с радиусами 30 см и 40 см касаются. Найдите расстояние между центрам окружностей в случаях внешнего и внутреннего касания
• № 16*. 1) Из одной точки проведены две касательные к окружности. Докажите, что отрезки касательных МР и MQ равны. 2) Докажите, что через одну точку не может проходить больше двух касательных к окружности
• № 1. Докажите, что любой луч, исходящий из центра окружности, пересекает окружность в одной точке
• № 2. Докажите, что прямая, проходящая через центр окружности, пересекает окружность в двух точках
• № 3. Докажите, что диаметр окружности, проходящей через середину хорды, перпендикулярен ей
• № 4. Сформулируйте и докажите теорему, обратную утверждению задачи № 3
• № 5. 1) Из точки данной окружности проведены диаметр и хорда, равная радиусу. Найдите угол между ними. 2) Из точки данной окружности проведены две хорды, равные радиусу. Найдите угол между ними
• № 6. Докажите, что серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника пересекаются
• № 7. Может ли окружность касаться прямой в двух точках? Объясните ответ
• № 8. Докажите, что касательная к окружности не имеет с ней других общих точек, кроме точки касания
• № 9. Какие углы образует хорда АВ, равная радиусу окружности, с касательной в точке А?
• № 10. Найдите углы, под которыми пересекаются прямые, касающиеся окружности в концах хорды, равной радиусу
• № 12. Могут ли касаться две окружности, если их радиусы равны 25 см и 50 см, а расстояние между центрами 60 см?
• № 13*. 1) Точки А, В, С лежат на прямой, а точка О — вне прямой. Могут ли два треугольника АОВ и ВОС быть равнобедренными с основаниями АВ и ВС? Обоснуйте ответ. 2) Могут ли окружность и прямая пересекаться более чем в двух точках?
• № 14*. 1) Окружности с центрами О и О1 пересекаются в точках А и В. Докажите, что прямая АВ перпендикулярна прямой ОО1 2) Докажите, что две окружности не могут пересекаться более чем в двух точках
• № 15*. 1) Через точку А окружности с центром О проведена прямая, не касающаяся окружности. ОВ — перпендикуляр, опущенный на прямую. На продолжении отрезка АВ отложен отрезок ВС = АВ. Докажите, что точка С лежит на окружности. 2) Докажите, что если прямая
• № 17. Одна окружность описана около равностороннего треугольника, а другая вписана в него. Докажите, что центры этих окружностей совпадают
• № 18. Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается его сторон в точках А1, В1, С1. Докажите, что AC1 =(AB+AC-BC)/2
• № 19. Постройте треугольник по трем сторонам a, b и с
• № 20. Дан треугольник АВС. Постройте другой, равный ему треугольник ABD
• № 21. Постройте окружность данного радиуса, проходящую через две данные точки
• № 22. Постройте треугольник по двум сторонам и радиусу описанной окружности
• № 23. Постройте треугольник АВС по следующим данным: 1)по двум сторонам и углу между ними: а) АВ = 5 см, АС = 6 см, ∠А = 40°; б) АВ = 3 см, ВС = 5 см, ∠В = 70°. 2) по стороне и прилежащим к ней углам: а) АВ = 6 см, ∠А = 30°, ∠В
• № 24. Постройте треугольник по двум сторонам и углу, противолежащему большей из них. 1) а = 6 см, b = 4 см, α = 70°; 2) а = 4 см, b = 6 см, β
• № 25. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и углу при основании
• № 26. Постройте окружность, вписанную в данный треугольник
• № 27. Разделите угол на четыре равные части
• № 28. Постройте углы 60° и 30°
• № 29. Дан треугольник. Постройте его медианы
• № 30. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из них
• № 31. Постройте треугольник по стороне, медиане, проведенной к этой стороне, и радиусу описанной окружности
• № 32. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне
• № 33. Дан треугольник. Постройте его высоты
• № 34. Постройте окружность, описанную около данного треугольника
• № 35. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и катету
• № 36. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и высоте, опущенной на основание
• № 37. Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, опущенной на третью сторону
• № 38. Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, опущенной на одну из них
• № 39. Постройте треугольник по стороне и проведенным к ней медиане и высоте
• № 40. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и радиусу описанной окружности
• № 41. Докажите, что геометрическое место точек, удаленных от данной прямой на расстояние h, состоит из двух прямых, параллельных данной и отстоящих от нее на h
• № 42. На данной прямой найдите точку, которая находится на данном расстоянии от другой данной прямой
• № 43. Даны три точки А, В, С. Постройте точку х, которая одинаково удалена от точек А и В и находится на данном расстоянии от точки С
• № 44. На данной прямой найдите точку, равноудаленную от двух данных точек
• № 45. Даны четыре точки А, В, С, D. Найдите точку х, которая одинаково удалена от точек А и В и одинаково удалена от точек С и D
• № 46*. Постройте треугольник, если заданы сторона, прилежащий к ней угол и сумма двух других сторон
• № 47*. Постройте треугольник, если заданы сторона, прилежащий к ней угол и разность двух других сторон
• № 48*. Постройте прямоугольный треугольник по катету и сумме другого катета и гипотенузы
• № 49. 1) Из точки А к окружности с центром О и радиусом R проведена касательная. Докажите, что точка С касания лежит на основании равнобедренного треугольника ОАВ, у которого ОА = АВ, ОВ = 2R. 2) Проведите касательную к окружности, проходящую через данную
• № 50*. Проведите общую касательную к двум данным окружностям

§ 1. Основные свойства простейших геометрических фигур