Привет, физматика! ] Что нового на сайте ] Разобраться  в теории ] Если не решается задача ] Тесты на понятливость ] Ну очень трудные задачи ] Короткие заметки ] Статьи ] Форумы ] О нас пишут ]

 

 

Уравнение 3-ей степени с параметром №1

 

 

Дано:

Найти все значение параметра a, при которых уравнение

 

8*a*x^3-12*(a+3)*x^2+6*(a+6)*x+3*(a-3)=0

 

имеет 3  различных корня.

 

 

Решение

 

Чтобы данное уравнение имело 3 различных корня, её график должен 3 раза пересечь ось x, а для этого необходимо, чтобы:

1)функция f(x)=8*a*x^3-12*(a+3)*x^2+6*(a+6)*x+3*(a-3) имела 2 экстремума;

2)значения функции f(x) в точках экстремума имели разные знаки.

 

1-ое условие будет удовлетворено, если уравнение:

 

f’(x)=6*(4*a*x^2-4*(a+3)*x+(a+6))=0 (2)

 

имеет 2 корня, а значит его дискриминант:

 

D=16*(a+3)^2-4*4*a*(a+6)>0 =>

=> 12^2>0 - верно при любом a.

 

Отсюда экстремумы f(x):

 

x1=1/2; x2=1/2*(1+6/a)

 

(значение a=0 не входит в решение, так как при этом (2) превращается в линейное и имеет только 1 корень)

 

Подставляя эти значения в f(x), найдем

 

y1=4*a; y2=4*(a^3-27)/a^2

 

Эти 2 величины должны быть разных знаков.

Пусть a<0, тогда 4*(a^3-27)/a^2<0 при любом a. То есть этот случай не входит в решение.

Пусть a>0, тогда требуется:

 

4*(a^3-27)/a^2>0 => a^3-27<0 => a<3

 

Таким образом, 0<a<3 – это и есть ответ задачи.

 

Вверх ] Что нового на сайте ] Разобраться  в теории ] Тесты на понятливость ] Ну очень трудные задачи ] Короткие заметки ] Статьи ] Форумы ] О нас пишут ]