Дано:
Решить систему:
Sin(x+y)+sin(x-y)=ctg(x)+sin(x+y)/sin(x)/sin(y)
(1)
Sin(x+y)-sin(x-y)=sin(x+y)/sin(x)/sin(y)+ctg(y)
(2)
0<x=<Pi/2;
-Pi/2=<y<0 (3)
Применяя формулы суммы и разности синусов, в левых частях (1) и (2) получим:
Sin(x+y)+sin(x-y)=2*sin(x)*cos(y)
Sin(x+y)-sin(x-y)=2*cos(x)*sin(y)
А правой части (1):
ctg(x)+sin(x+y)/sin(x)/sin(y)=сos(x)/sin(x)+
(sin(x)*cos(y)+cos(x)*sin(y))/sin(x)/sin(y)=
(cos(x)*sin(y)+
sin(x)*cos(y)+cos(x)*sin(y))/sin(x)/sin(y)= ctg(y)+2*ctg(x)
Аналогично в правой части (2):
sin(x+y)/sin(x)/sin(y)+ctg(y)=2*ctg(y)+ctg(x)
Отсюда получаем систему:
2*sin(x)*cos(y)=
ctg(y)+2*ctg(x) (4)
2*cos(x)*sin(y)= 2*ctg(y)+ctg(x)
Вводя новые переменные sin(x)=u, sin(y)=t вместо (4) имеем:
2*u*sqrt(1-t^2)=sqrt(1-t^2)/t+2*sqrt(1-u^2)/u
2*t*sqrt(1-u^2)=2*sqrt(1-t^2)/t+sqrt(1-u^2)/u
приводим к общему знаменателю и приводя подобные члены в числителе:
((u*(1-2*u*t)*sqrt(1-u^2)+2*t*sqrt(1-t^2))/(u*t)=0
(5)
(2*u*sqrt(1-t^2)+t*(1-2*t*u)*sqrt(1-u^2))/(u*t)=0
Отсюда ОДЗ: {u<>0, t<>0} (6)
Кроме того ясно, что если
u*t*(1-2*t*u)<0 (7а)
(то есть коээфииценты при sqrt в уравнениях (5) имеют разные знаки), то система (5) эквивалентна системе (возводим в квадрат):
u^2*(1-2*u*t)^2*(1-t^2)=4*t^2*(1-u^2)
(7)
4*u^2*(1-t^2)=t^2*(1-2*u*t)^2*(1-u^2)
Выражая по очереди (1-2*u*t)^2 из уравнений (7) и приравнивая:
t^2*(1-u^2)/u^2/(1-t^2)=u^2*(1-t^2)/t^2/(1-u^2)
(8)
Откуда
(1-u^2)^2/u^4=(1-t^2)^2/t^4
Понятно, что такое уравнение удовлетворяется только при u^2=y^2 => u=t или u=-t (9a, b)
Поскольку при получении (8) было деление на sqrt(1-t^2) и на sqrt(1-u^2), то могут быть потеряны корни, соответствующие
1-t^2=0
=> t^2=1 (10a)
или 1-u^2=0 => u^2=1 (10b)
подставляя (10a) в (7), получим u^2=1. Таким образом, {u=+-1, t=+-1} удовлетворяет (5).
Подставляя (9a) в (5) и сокращая (u=0 уже исключен ранее через ОДЗ (6)), получим:
1-2*u^2=+-2 => u1=sqrt((1+2)/2)>1 (не удовлетворяет области значений sin(x)) и u2=sqrt(-1/2) – не удовлетворяет области определения sqrt.
Поставим (9b)
в (5), получим:
1+2*u^2=+-2 => u1=sqrt(1/2); u2=sqrt(-3/2) - не удовлетворяет области определения sqrt.
Проверим выполнение (7a). С учётом (9b):
-u^2*(1+2*u^2)<0 при любых u
Выполняется (7a) и при u^2=1 и t^2=1.
Таким образом, получили следующие пары корней (u,t): (1,1), (1,-1), (-1,1), (-1,-1), (sqrt(1/2),-sqrt(1/2)), (-sqrt(1/2),sqrt(1/2)
Но с учетом (3) (ему равносильно: 0<u=<1 и –1=<t<0) остается (1,-1), (sqrt(1/2),-sqrt(1/2)).
Возвращаясь к (x,y), получаем пары корней: (Pi/2,-Pi/2), (Pi/4, -Pi/4).