Иррациональное
неравенство (№1)
Дано:
Найти наименьшее целое решение неравенства
(x^2-5*x-6)^(1/3)-(4-x)^(1/4)<0
Во-первых, отыщем область определения левой части. Она найдется из системы
{x^2-5*x-6>=0; 4-x>=0}
Откуда {[x=<-1; x>6]; x<4} => x=<-1 (1)
(квадратными скобками охвачены неравенства, связанные союзом «или»)
Значит, максимальным целым решением неравенства может быть x=-1. Легко убедиться (подстановкой), что оно удовлетворяет этому неравенству. А вот x=-2 - уже не удовлетворяет. Быть может, x=-1 и есть наименьшее целое решение неравенства? Но для этого нужно доказать, что при x=<-2 левая часть неравенства является монотонно убывающей функцией.
Для этого найдем производную левой части. Получим:
g(x)=g1(x)+g2(x)=1/3*(2*x-5)*(x^2-5*x-6)^(-2/3)-1/4*(4-x)^(-3/4)
Легко видеть, что при x<-1 обе функции (g1(x) и g2(x)) являются отрицательными. Поэтому отрицательная и сумма этих функций. Следовательно, наша гипотеза подтверждается и x=-1 –наименьшее целое решение исходного неравенства.