Решение

Пусть t=x+2 => x=t-2, тогда исходное неравенство преобразуется к виду:

6/(2*(t-2)+1)>(1+log(2)(t))/(t-2) (2)

Отсюда ОДЗ: {t-2≠0, t>0, 2*t-3≠0 => {t≠2, t>0, t≠3/2 (3)

Оставим в правой части только log, тогда:

6*(t-2)/(2*(t-2)+1)-1 > log(2)(t) =>

(4*x-9)/(2*x-3) > log(2)(t) =>

2-3/(2*x-3) > log(2)(t)

Это неравенство является трансцендентным, то есть не решаемым аналитически (путем равносильных преобразований).

Решить его помогает исследование функций, стоящих в его частях. Функция g(t)=log(2)(t) определена при t>0, монотонно возрастает на всей D[g]. E[log(2)(t)]=R (множество действительных чисел)

Функция f(t)=2-3/(2*x-3) получается из функции f(x)=1/x путем осевой симметрии относительно оси x (f-> -f) сдвига вверх вдоль оси y (f-> f+2) и замены переменной x-> 2/3*t-1.

Поэтому f(t), по аналогии с f(x)=1/x, определена при всех t≠3/2 (причем t=3/2 – это вертикальная асимптота f(t)), при t<3/2 f(t)>2, при t>3/2 f(t)<2, причем на обоих этих интервалах f(t) монотонно возрастает, а f(t)=2 – горизонтальная асимптота.

Из этих свойств функций частей видно, что в решение неравенства входит интервал 0<t<3/2, поскольку в нем g(t)<log(2)(3/2) (ввиду своего монотонного возрастания), а f(t)>2 (и log(2)(3/2)<2 <= 3/2<2^2).

Но нет ли у исходного неравенства других решений? Для этого рассмотрим поведение функций частей при t>3/2. В этом интервале характерные точки:

1)g(3/2)=log(2)(3/2), f(3/2+0)=-infinity (предел справа);

2)g(2)=1, f(2)=2-3/1=-1;

3)g(infinity)=infinity, f(infinity)=2-0

(то есть f(t) не станет >2. Ведь y=2 – горизонтальная асимптота f(t))

Таким образом, судя по всему при t>3/2 всюду g(t)>f(t), то есть исходное неравенство не выполняется.

Поскольку на краях интервала g(t)>f(t), то внутри интервала t|g(t)<f(t) найдется только в том случае, если в этом интервале существует t|(g’(t)=f’(t))’, то есть точка, в которой касательные к графикам функций параллельны (необходимое условие). Ведь только в этом случае функция f(t) «имеет шанс» внутри интервала перегнать по возрастанию функцию g(t) и достичь равного значения. (Если, разумеется, в 1-ой части интервала g’(t)>f’(t). Что как раз и имеет место для данного случая).) Так как в силу того, что на концах интервала g(t)>f(t), далее ей «придется» возрастать медленнее: g’(t)<f’(t).

Решим поэтому уравнение:

(g(t)-f(t))’= (log(2)(3/2)-(2-3/(2*x-3)))’=

= 1/(ln(2)*x)-6/(2*x-3)^2 =0

Отсюда

t1=3/4*(2+ln(2)-√(4*ln(2)+ln^2(2)))≈0,67<3/2 – не входит в исследуемый интервал;

t2=3/4*(2+ln(2)+√(4*ln(2)+ln^2(2)))≈3,37

Остается теперь найти значение g(t2)-f(t2)≈0,68, то есть разность функций частей в этой точке того же знака, что и на концах интервала. Это означает, что внутри интервала исходное неравенство не выполняется всюду, и поэтому решение (2) таково: 0<t<3/2 (с учетом ОДЗ (3)).

Решение же исходного неравенства (1) найдется из x=t-2:

-2<x<-1/2.

***

В пособии [Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математике. – М.: Просвещение, 1991] дается следующий «способ» решения неравенств данного типа: log(a)(f(x)) заменяем на выражение (a-1)*f(x) (якобы имеющее те же знаки).

Легко показать, что, несмотря на то, что хотя данная замена тоже приводит к решению -2<x<-1/2, она не является равносильным преобразованием. Например:

1)для данного случая она дает также ложные корни x>0;

2)для случая 6/(2*x+1)>(1+log(3)(2+x))/x она также дает ложные корни 0<x<1 и x>≈4,4 (то есть внутри интервала ложных корней x>0 появляется «островок» истинных корней 1<x<≈4,4, на который данный способ также не указывает).