Задача №4 на движение
Дано:
На гладком горизонтальном столе покоятся два маленьких шарика 2M и M, скрепленных невесомым жестким стержнем длиной L .На шарик 2M налетает и прилипает пластилин M , двигавшийся вдоль стола со скоростью V перпендикулярно стержню. Определить силу упругости, возникающую в стержне при дальнейшем движении шариков.
Какова будет сила упругости стержня, если вместо пластилина М имеется шарик той же массы, взаимодействующий с шариком 2М упруго?
Решение №1
(неправильное)
Начнем с ответа на 1-ый вопрос задачи.
Сначала приведем казалось бы очевидное, но неправильное решение. Этого не стоило бы делать, если бы решения такого типа не встречались довольно часто в пособиях по физике. Речь идет о решениях по методу остаточной энергии (название наше). Поэтому знание о таких методах – полезное знание.
По закону сохранения импульса
3*M*0+ M*V= (3*M+ M)* V1=> V1= V/4 (скорость центра масс системы после прилипания пластилина)
По закону сохранения энергии
M*V^2/2= ½*4*M*(V/4)^2 (1)
Но последнее равенство неверное, т.к. левая часть заведомо > правой. Значит, справа должна быть еще какая-то энергия. Это – кинетическая энергия вращения системы, которая складывается из энергий вращательного движения 2-х масс - 3*M и M:
½*3*M*(W1*L1)^2+
½*M*(W1*L2)^2 (2)
где W1 – угловая скорость вращения системы, а L1 и L2 – соответственно радиусы вращения этих масс.
Для отыскания L1 и L2 вычислим расположения центра. Пусть начало координат расположено в точке с массой 3*M, тогда координата центра масс найдется по определению
Xc= (M*L+ 3*M*0)/(4*M)= L/4
Отсюда L1= L/4, L2= L- L/4= 3/4*L. Подставив это сначала в (2), а затем (2) в (1), получим итоговое уравнение:
M*V^2/2= ½*4*M*(V/4)^2+
½*3*M*(W1*L/4)^2+ ½*M*(W1*3/4*L)^2 (3)
Решение этого уравнения относительно W1 дает:
W1= V/L
Искомая сила упругости T сообщает шарикам центростремительное ускорение ac, поэтому
T= 3*M*ac= 3*M*W1^2*L1= 3*M*(V/L)^2*L/4=
3/4 *M/L*V^2
Однако это решение, несмотря на свою формальную безупречность, неверно, и вот почему. Практический опыт подсказывает: если пластилин ударится и прилипнет не к шарику 3*M, а точно к центру масс системы, то вращения не будет происходить. Более того: чем ближе к центру масс системы будет приложен первоначальный импульс кусочка пластилина, тем меньше в результате будет угловая скорость вращения системы. Но ни этого, ни предыдущего положения из данного решения не следует. Оно вообще не учитывает того, в какой точке стержня кусочек пластилина передаёт свой импульс системе.
Решение №2
(правильное)
Это решение отличается от 1-го тем, что использует вместо закона сохранения кинетической энергии закон сохранения момента импульса. Это необходимо потому, что возникновение вращения происходит не вследствие наличия кинетической энергии, а вследствие наличия момента силы или момента импульса, то есть смещения точки приложения импульса относительно центра масс – плеча импульса. Момент импульса – это и есть произведение импульса на его плечо. Закон сохранения момента импульса записывается в данном случае в виде:
M*V*L/4= 3*M*(W1*L/4)*L/4+ M*(W1*3/4*L)* 3/4*L
Отсюда
W1= 1/3*V/L => T= 3*M*W1^2*L1= 3*M*(1/3*V/L)^2*L/4= 1/12* M*V^2/L
Что и требовалось найти.
***
При упругом взаимодействии шарик М, налетающий на шарик 2М стержня, хоть и будет действовать на систему стержня с тем же (поступательным) импульсом, но при окончании взаимодействия отделится от неё (=> не увеличит её массу и момент инерции). Поэтому итоговый центр масс этой системы найдется из
Xc= (M*L+ 2*M*0)/(3*M)= L/3
Отсюда плечи шариков L1= L/3, L2= L- L/3= 2/3*L
Следовательно, закон сохранения момента импульса записывается в данном случае в виде:
M*V*L/3= 2*M*(W1*L/3)*L/3+ M*(W1*2/3*L)* 2/3*L =>
1/3*M*L=6/9*M*W1*L^2
Отсюда угловая скорость вращения системы стержня W1 и сила упругости стержня T
W1= 1/2*V/L => T= 2*M*W1^2*L1= 2*M*(1/2*V/L)^2*L/3=
1/6* M*V^2/L
Что и требовалось найти.
Выводы
Поскольку во 2-ом решении получилось меньшее значение W1, чем в 1-ом, то очевидно, что закон сохранения энергии в виде (3) не выполняется. То есть кинетическая энергия в данном случае не сохраняется. Спрашивается, куда же она девается? Это осталось бы тайной за 7 печатями, если потерять из виду то обстоятельство, что по условию задачи стержень, соединяющий шарики, является абсолютно жестким, то есть его жесткость считается бесконечной. Это необходимо для того, чтобы длина стержня при любом приложенном к нему усилии оставалось неизменной. Чисто формально при этом работа, совершаемая против силы упругости стержня равна 0. Но из практического опыта опять же очевидно, что это далеко не так: эта работа отлична от 0 и даже может быть как угодно велика, поскольку сила может увеличиваться до бесконечности. На эту-то работу и тратится кинетическая энергия системы.
Кстати, при ударе кусочка пластилина в центр масс системы потеря кинетической энергии будет еще больше. Значит, при этом потери на работу против сил упругости будут еще больше.
Отсюда выводы:
1.Если в условиях задачи заданы абсолютная жесткость (нерастяжимость), бесконечная масса, бесконечная электрическая емкость, бесконечное сопротивление или бесконечная индуктивность каких-либо элементов, то эти элементы являются «черными дырами» для энергии – в них может исчезнуть энергии столько, сколько это максимально возможно.
2.Если в условиях задачи не заданы конкретные значения данных параметров, то ничего конкретного невозможно сказать и про соответствующие потери энергии (хотя бы и обратимые).
3.Закон сохранения энергии, поскольку он чувствителен в такого рода нюансам, является законом меньшей практической применимости, чем закон сохранения импульса. Например, если два тела взаимодействуют через трение или упругость, то для конечного результата взаимодействия это не имеет никакого значения.
(Однако этого не скажешь, если тела взаимодействуют через пластичность. Кстати, если, как решенной выше задаче, тела соударяются, но не отскакивают, то из этого, строго говоря, следует, что в системе имеется элемент пластичности, который потребляет кинетическую энергию относительного движения тел, но, в отличие от элемента упругости, необратимо. Поэтому, строго говоря, в данной ситуации механический импульс системы не сохраняется.)