Дано:
Найти, при каких a неравенство 2+4*a*cos(4*x)>0 верно при любом x ?
Решим исходное неравенство относительно x. Оно приводится к виду:
a*cos(4*x)>
-1/2 (1)
Но при делении на a в зависимости от знака a может поменяться и знак (отношение) неравенства. Поэтому дальнейший процесс решения разбивается на 2 ветви (решения в которых затем надо объединить):
1){a>0,
cos(4*x)> -1/(2*a)} (2а)
2){a<0,
cos(4*x)< -1/(2*a)} (2б)
Но в данные ветви не вошел случай a=0. Поэтому его надо рассмотреть особо. Это можно сделать подстановкой в (1). При этом получаем тождественно верное неравенство:
0*cos(4*x)=0>-1/2,
то есть ему удовлетворяет x любой (входящий в о.д.з исходного неравенства.
В дальнейшем эта оговорка (для краткости) будет опускаться.)
Отсюда следует, что случай a=0 (*) входит в искомое множество значений (параметра) a.
Рассмотрим неравенство системы (2а):
cos(4*x)>
-1/(2*a)
Условия задачи позволяют нам не находить явного решения. Сравним данное неравенство с:
cos(4*x)>
min(cos(4*x)), (3)
(где min функции находится на всей области её определения).
Сравнение приводит к выводу, что при
-1/(2*a)<
min(cos(4*x))
неравенство (2а) выполняется при любых x. Таким образом:
-1/(2*a)<-1
=> 1/(2*a)>1 => 1/a>2 => a<1/2
Пересекая это условие с условием «включения» 1-ой ветви (a>0), получим в итоге 0<a<1/2 (**).
Аналогично для 2-ой ветви (2б) получаем:
-1/(2*a)>
max(cos(4*x)),
откуда
-1/(2*a)>1 => a>-1/2.
Пересекая этот результат с условием «включения» 2-ой ветви (a<0), получаем –1/2<a<0 (***).
Объединяя результаты решения всех 3-х ветвей (в том числе и (*)!), получим ответ задачи: -1/2<a<1/2.