Введение → номер 1 1. По рисунку 8 назовите: а) плоскости, в которых лежат прямые РЕ, МК, DB, АВ, ЕС; б) точки пересечения прямой DK с плоскостью ABC, прямой СЕ с плоскостью ADB; в) точки, лежащие в плоскостях ADB и DBC; г) прямые, по которым пересекаются плоскости …
Подробнее…
Archive for марта, 2013
1. По рисунку 8 назовите: а) плоскости, в которых лежат прямые РЕ, МК, DB, АВ, ЕС; б) точки пересечения прямой DK с плоскостью ABC, прямой СЕ с плоскостью ADB; в) точки, лежащие в плоскостях ADB и DBC; г) прямые, по которым пересекаются плоскости ABC и DC
2. По рисунку 9 назовите: а) точки, лежащие в плоскостях DCC1 и BQC; б) плоскости, в которых лежит прямая АА1; в) точки пересечения прямой МК с плоскостью ABD, прямых DK и ВР с плоскостью А1В1С1; г) прямые, по которым пересекаются плоскости АА1В1 и ACD, Р
Введение → номер 2 2. По рисунку 9 назовите: а) точки, лежащие в плоскостях DCC1 и BQC; б) плоскости, в которых лежит прямая АА1; в) точки пересечения прямой МК с плоскостью ABD, прямых DK и ВР с плоскостью А1В1С1; г) прямые, по которым пересекаются плоскости АА1В1 и …
Подробнее…
3. Верно ли, что: а) любые три точки лежат в одной плоскости; б) любые четыре точки лежат в одной плоскости; в) любые четыре точки не лежат в одной плоскости; г) через любые три точки проходит плоскость, и притом только одна?
Введение → номер 3 А) Да (аксиома А1). Б) Неверно. Например, В) Неверно. Например, Г) Через любые 3 точки проходит плоскость. Но утверждение о единственности неверно. Не всегда.
4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости, а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой? б) Могут ли прямые АВ и CD пересекаться? Ответ обоснуйте
Введение → номер 4 А) Рассмотрим два случая Никакие три точки не лежат на одной прямой. Сама пл. а существует по аксиоме А1. Условие задачи выполнено По теореме п. 3 D и прямая лежат в одной плоскости, что противоречит условию задачи. Ответ: нет. б) Если То через …
Подробнее…
5. Докажите, что через три данные точки, лежащие на прямой, проходит плоскость. Сколько существует таких плоскостей?
Введение → номер 5 Выберем произвольно По теореме п. 3 через D и прямую можно провести единственную плоскость, таких плоскостей можно провести бесконечно много, в силу того, что точка D выбрана произвольно. Ответ: бесконечное множество.
6. Три данные точки соединены попарно отрезками. Докажите, что все отрезки лежат в одной плоскости
Введение → номер 6 Через три точки можно провести единственную плоскость. В силу того, что две точки каждого отрезка принадлежат этой плоскости (концы отрезков), то и все отрезки лежат в этой плоскости (аксиома А2).
7. Две прямые пересекаются в точке М. Докажите, что все прямые, не проходящие через точку М и пересекающие данные прямые, лежат в одной плоскости. Лежат ли в одной плоскости все прямые, проходящие через точку М?
Введение → номер 7 Пусть l1 ∩ l2 = M; n — произвольная прямая, М ∉ n и n пересекает l1и l2 в точках А и K, значит, через т. А и прямую l2 можно провести единственную плоскость (по теореме п. 3). Поэтому отрезки АМ, AK и …
Подробнее…
8. Верно ли утверждение: а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости; б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости?
Введение → номер 8 А) Неверно. Пример: А ∈ α, В ∈ α. Но окружность пересекает а и не лежит в ней. Б) Верно, так как три точки однозначно задают окружность, поэтому все ее точки будут лежать в заданной плоскости. Ответ: а) нет; б) да.
9. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей параллелограмма лежат в плоскости α. Лежат ли две другие вершины параллелограмма в плоскости α? Ответ обоснуйте
Введение → номер 9 А, В, О ∈ α. Так как А, О ∈ α, по А2, то С ∈ α (поскольку С ∈ АО, АО ⊂ α). Так как В, О ∈ α, по А2, то D ∈ α (D ∈ ВО, ВО ⊂ α). Значит, …
Подробнее…
10. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного треугольника, если она: а) пересекает две стороны треугольника; б) проходит через одну из вершин треугольника?
Введение → номер 10 Если MN пересекает стороны ΔАВС, а ΔАВС ⊂ α, то М ⊂ α и N ⊂ α. Из аксиомы А2 прямая MN лежит в пл. α. Прямая l пересекает α в точке В, но не обязательно лежит в ней. Ответ: а) да; б) …
Подробнее…