Глава VI. Цилиндр, конус и шар. Дополнительные задачи → номер 628 Пусть R — радиус внешней сферы; г — радиус внутренней сферы. Сечение тела плоскостью, которая проходит через центры сфер, кольцо. Площадь кольца равна Сечение, плоскостью касательной к внутренней сфере — окружность. По теореме п. 61 ОС=r …
Подробнее…
Archive for марта, 2013
628. Тело ограничено двумя сферами с общим центром. Докажите, что площадь его сечения плоскостью, проходящей через центры сфер, равна площади сечения плоскостью, касательной к внутренней сфере
629. Докажите, что если одна из граней вписанной в цилиндр треугольной призмы* проходит через ось цилиндра, то две другие грани взаимно перпендикулярны
Разные задачи на многогранник, цилиндр, конус и шар → номер 629 * Призма называется вписанной в цилиндр, если ее основания вписаны в основания цилиндра. АВ — диаметр окружности основания ∠АСВ=90 °, т. к. опирается на диаметр. ВС ⊥ СС1 т. к. СС образующая и перпендикулярна основанию; ВС …
Подробнее…
630. В конус высотой 12 см вписана пирамида, основанием которой является прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см. Найдите отношение площадей полных поверхностей пирамиды и конуса
Разные задачи на многогранник, цилиндр, конус и шар → номер 630 SO перпендикулярна ABCD, SO=h=12 см, AB=8см, ВС=6см ОА=ОВ=r. Ребра пирамиды равны образующим конуса и лежат на поверхности конуса. Вычислим площадь полной поверхности конуса. Из прямоугольного ΔSOA Боковые грани попарно равны. Построим OK1⊥DA, OL⊥AB, отрезки SK и …
Подробнее…
631. В усеченный конус вписана правильная усеченная n-угольная пирамида (т. е. основания пирамиды вписаны в основания усеченного конуса). Радиусы оснований усеченного конуса равны 2 см и 5 см, а высота равна 4 см. Вычислите площадь полной поверхности пирам
Разные задачи на многогранник, цилиндр, конус и шар → номер 631 631. В усеченный конус вписана правильная усеченная n-угольная пирамида (т. е. основания пирамиды вписаны в основания усеченного конуса). Радиусы оснований усеченного конуса равны 2 см и 5 см, а высота равна 4 см. Вычислите площадь полной …
Подробнее…
632. Докажите что если в правильную призму можно вписать сферу, то центром сферы является середина отрезка, соединяющего центры оснований этой призмы
Разные задачи на многогранник, цилиндр, конус и шар → номер 632 Очевидно, что центр сферы лежит в плоскости α, параллельной основаниям, и проходящей через середины боковых ребер, т. к. она касается всех граней. Кроме того, центр сферы будет совпадать с центром треугольника (т. S), полученным пересечением призмы …
Подробнее…
633. Докажите, что центр сферы, вписанной в правильную пирамиду, лежит на высоте этой пирамиды
Разные задачи на многогранник, цилиндр, конус и шар → номер 633 Рассмотрим для простоты треугольную правильную пирамиду. SD — высота пирамиды. Построим AE⊥BC, отрезок SE. По теореме о трех перпендикулярах SE⊥CB. Впишем в ΔSDE полуокружность DFG. Центр О окружности лежит на катете SD, и касается сторон DE …
Подробнее…
634. Радиус сферы равен R. Найдите площадь полной поверхности описанного около сферы многогранника, если этот многогранник является: а) кубом; б) правильной шестиугольной призмой; в) правильным тетраэдром
Разные задачи на многогранник, цилиндр, конус и шар → номер 634 а) Рассмотрим сечение, проходящее через ось. Получим квадрат и вписанную в него окружность, ее радиус равен радиусу сферы. Обозначим ребро куба через x; x = 2 R. Площадь одной грани равна x2, или 4R2. Б) Высота …
Подробнее…
635. Около сферы радиуса R описана правильная четырехугольная пирамида, плоский угол при вершине которой равен α. а) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. б) Вычислите эту площадь при R = 5 см, α = 60°
Разные задачи на многогранник, цилиндр, конус и шар → номер 635 РО — высота пирамиды. Проведем прямую MN параллельную AD через точку О, отрезки РМ и PN. По теореме о трех перпендикулярах PN⊥DC, PM ⊥ AB. Центр сферы совпадает с точкой пересечения биссектрис двугранных углов при основании: …
Подробнее…
636. Докажите, что если в правильную усеченную четырехугольную пирамиду можно вписать сферу, то апофема пирамиды равна полусумме сторон оснований ее боковой грани
Разные задачи на многогранник, цилиндр, конус и шар → номер 636 Боковые грани — это равнобедренные трапеции. В правильной усеченной пирамиде, центр вписанной в нее сферы лежит на середине отрезка ОО1 где О и О1 — центры оснований. Это следует из теоремы о центре сферы вписанной в …
Подробнее…
637. Докажите, что центр сферы, описанной около: а) правильной призмы, лежит в середине отрезка, соединяющего центры оснований этой призмы; б) правильной пирамиды, лежит на высоте этой пирамиды или ее продолжении
Разные задачи на многогранник, цилиндр, конус и шар → номер 637 а) В основаниях призмы лежат равносторонние треугольники. Пусть А и В — центры оснований. Все точки, которые лежат на перпендикуляре, проведенному через точку В к верхнему основанию призмы равноудалены от вершин треугольника PQR. Все точки, которые …
Подробнее…