Вопросы к главе II Перпендикулярность прямых и плоскостей. → номер 10 А) Тетраэдр имеет 6 двугранных углов (по одному при каждом ребре). Б) Параллелепипед имеет 12 двугранных углов (по одному при каждом ребре). Ответ: а) 6; б) 12.
Archive for марта, 2013
197. Отрезок ВМ перпендикулярен к плоскости прямоугольника ABCD. Докажите, что прямая CD перпендикулярна к плоскости MBС
Дополнительные задачи к главе II Перпендикулярность прямых и плоскостей. → номер 197 Дано: Решение: Что и требовалось доказать.
198. Точка А лежит в плоскости α, а точка В удалена от этой плоскости на расстояние 9 см. Точка М делит отрезок АВ в отношении 4:5, считая от точки А. Найдите расстояние от точки М до плоскости α
Дополнительные задачи к главе II Перпендикулярность прямых и плоскостей. → номер 198 Дано: Решение: 1. Проведем ВС ⊥ α и СА, ВС ⊥ СА, раз ВС ⊥ α; пл. АВС ⊥ α (т. к. проходит через прямую, перпендикулярную α). 2. Из т. М проводим МЕ ⊥ α, …
Подробнее…
199. Точка S равноудалена от вершин прямоугольного треугольника и не лежит в плоскости этого треугольника. Докажите, что прямая SM, где М — середина гипотенузы, перпендикулярна к плоскости треугольника
Дополнительные задачи к главе II Перпендикулярность прямых и плоскостей. → номер 199 Дано: Решение: 1. ΔASB — равнобедренный, SM — медиана, поэтому SM ⊥ AB (это высота). 2. Проведем отрезок СМ. в пл. SCM проведем SO L СМ. Точку О соединим с вершинами А, В и С. …
Подробнее…
200. Докажите, что любая точка прямой, которая проходит через центр окружности, описанной около многоугольника, и перпендикулярна к плоскости многоугольника, равноудалена от вершин этого многоугольника
Дополнительные задачи к главе II Перпендикулярность прямых и плоскостей. → номер 200 Решение: Пусть SO L а — данная прямая, а а — плоскость многоугольника Пусть на плоскости а имеется вписанный в окружность n-угольник (не обязательно правильный n-угольник); т. О — центр описанной окружности. Рассмотрим ΔA1OS, ΔA2OS, …
Подробнее…
201. Найдите угол между скрещивающимися прямыми АВ и PQ, если точки Р и Q равноудалены от концов отрезка АВ
Дополнительные задачи к главе II Перпендикулярность прямых и плоскостей. → номер 201 Решение: 1. Проведем РМ ⊥ α и QN ⊥ α; через середину АВ точку О — проведем отрезки OQ и ОР, соединим точки О и N, О и М. — по свойству медианы в равнобедренном …
Подробнее…
202. Точка удалена от каждой из вершин прямоугольного треугольника на расстояние 10 см. На каком расстоянии от плоскости треугольника находится эта точка, если медиана, проведенная к гипотенузе, равна 5 см?
Дополнительные задачи к главе II Перпендикулярность прямых и плоскостей. → номер 202 Дано: — медиана. Найти p(S, пл. АВС). Решение: Прямая SM, где М — середина гипотенузы АВ, перпендикулярна к пл. АВС (в задаче 199 дано доказательство этого утверждения). Итак, SM⊥ пл. АВС. Ответ: 5√3 см.
203. Через центр О окружности, вписанной в треугольник ABC, проведена прямая ОK, перпендикулярная к плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки К до сторон треугольника, если АВ=ВС=10 см, АС =12 см, ОК = 4 см
Дополнительные задачи к главе II Перпендикулярность прямых и плоскостей. → номер 203 Дано: Решение: В точки касания сторон ΔАВС с окружностью проводим отрезки ОЕ1, ОЕ2 и ОЕ3. То по теореме о 3-х перпен Дикулярах, Т. о. KE1, E2K и KE3 суть искомые Расстояния. Поскольку проекции этих отрезков …
Подробнее…
204. Прямая ОМ перпендикулярна к плоскости правильного треугольника ABC и проходит через центр О этого треугольника, ОМ = а, ∠MCO = φ. Найдите: а) расстояние от точки М до каждой из вершин треугольника ABC и до прямых АВ, ВС и СA; б) длину окружно
Дополнительные задачи к главе II Перпендикулярность прямых и плоскостей. → номер 204 204. Прямая ОМ перпендикулярна к плоскости правильного треугольника ABC и проходит через центр О этого треугольника, ОМ = а, ∠MCO = φ. Найдите: а) расстояние от точки М до каждой из вершин треугольника ABC и …
Подробнее…
205. Через вершину С прямого угла прямоугольного треугольника ABC проведена прямая CD, перпендикулярная к плоскости этого треугольника. Найдите площадь треугольника ABD, если СA =3 дм, СВ = 2 дм, CD= 1 дм
Дополнительные задачи к главе II Перпендикулярность прямых и плоскостей. → номер 205 Решение: Проведем СЕ ⊥ АВ и отрезок DE. По теореме о 3-х перпендикуляра DE ⊥ АВ, DE — высота в треугольнике ADB. (что следует из подо Бия Отсюда ΔDCE — прямоугольный. Тогда по теореме Пифагора: …
Подробнее…