Глава V. Метод координат в пространстве. § 2. Скалярное произведение векторов → номер 464 464. Вычислите угол между прямыми А В и CD, если: а) А (3; -2; 4), В (4; -1; 2), С (6; -3; 2), D (7; -3; 1); б) A (5; -8; -1), В …
Подробнее…
Archive for марта, 2013
464. Вычислите угол между прямыми А В и CD, если: а) А (3; -2; 4), В (4; -1; 2), С (6; -3; 2), D (7; -3; 1); б) A (5; -8; -1), В (6; -8; -2), С (7; -5; -11), D (7; -7; -9); в) A(1; 0; 2), В (2; 1; 0), С (0; -2; -4), D ( — 2; -4; 0); г) А (-6; -15; 7), В (
465. Дана правильная треугольная призма АВСA1B1C1, в которой АА1=√2АВ (рис. 132,а). Найдите угол между прямыми АС1 и А1В
Глава V. Метод координат в пространстве. § 2. Скалярное произведение векторов → номер 465 Решение. Пусть АВ =а, тогда AA1 = √2а. Введем прямоугольную систему координат так, как показано на рисунке 132,б. Вершины А, В, А1, С1 имеют следующие координаты (объясните почему): Отсюда находим координаты векторов АС1 …
Подробнее…
466. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка М лежит на ребре АА1, причем АМ:МА1=3:1, а точка N — середина ребра ВС. Вычислите косинус угла между прямыми: a) MN и DD1; б) MN и BD; в) MN и B1D; г) MN и А1С
Глава V. Метод координат в пространстве. § 2. Скалярное произведение векторов → номер 466 466. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка М лежит на ребре АА1, причем АМ:МА1=3:1, а точка N— середина ребра ВС. Вычислите косинус угла между прямыми: a) MN и DD1; б) MN и BD; в) MN …
Подробнее…
467. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 АВ = ВС=½АА1. Найдите угол между прямыми: a) BD и CD1; б) АС и АС1
Глава V. Метод координат в пространстве. § 2. Скалярное произведение векторов → номер 467 Обозначим АВ=а=ВС, тогда АА1=2а. Введем прямоугольную систему координат как показано на рисунке. Тогда вершины параллелепипеда имеют координаты: А) Б)
468. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 АВ = 1, ВС=2, BB1=3. Вычислите косинус угла между прямыми: а) АС и D1B; б) AB1 и ВС1; в) A1D и АС1
Глава V. Метод координат в пространстве. § 2. Скалярное произведение векторов → номер 468 468. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 АВ = 1, ВС=2, BB1=3. Вычислите косинус угла между прямыми: а) АС и D1B; б) AB1 и ВС1; в) A1D и АС1. Введем прямоугольную систему координат аналогично п. …
Подробнее…
469. В кубе ABCDA1B1C1D1 диагонали грани ABCD пересекаются в точке N, а точка М лежит на ребре A1D1, причем A1M:MD1 = 1:4. Вычислите синус угла между прямой MN и плоскостью грани: a) ABCD; б) DD1C1C; в) AA1D1D
Глава V. Метод координат в пространстве. § 2. Скалярное произведение векторов → номер 469 469. В кубе ABCDA1B1C1D1 диагонали грани ABCD пересекаются в точке N, а точка М лежит на ребре A1D1, причем A1M:MD1 = 1:4. Вычислите синус угла между прямой MN и плоскостью грани: a) ABCD; …
Подробнее…
470. В тетраэдре ABCD ∠ABD= ∠ABC= ∠DBC = 90°, АВ = BD = 2, ВС= 1. Вычислите синус угла между прямой, проходящей через середины ребер AD и ВС, и плоскостью грани: a) ABD; б) DBC; в) ABC
Глава V. Метод координат в пространстве. § 2. Скалярное произведение векторов → номер 470 Введем прямоугольную систему координат, как показано на рисунке. Sin φ=|cos Θ|, где φ — угол между прямой и плоскостью; Θ — угол между прямой и ненулевым вектором, перпендикулярным к этой плоскости. А) вектор …
Подробнее…
471. Докажите, что угол между скрещивающимися прямыми, одна из которых содержит диагональ куба, а другая — диагональ грани куба, равен 90°
Глава V. Метод координат в пространстве. § 2. Скалярное произведение векторов → номер 471 Пусть дан куб ABCDА1B1C1D1, А1С — диагональ куба; DB — диагональ грани куба. Введем прямоугольную систему координат. С началом координат в т. D и осями, направленными вдоль ребер ОА, ОВ, ОС. Обозначим сторону …
Подробнее…
472. Дан куб MNPQM1N1P1Q1. Докажите, что прямая РМ1 перпендикулярна к плоскостям MN1Q1 и QNP1
Глава V. Метод координат в пространстве. § 2. Скалярное произведение векторов → номер 472 Введем прямоугольную систему координат. С началом координат в т. D и осями, направленными вдоль ребер ОА, ОВ, ОС. Обозначим сторону куба через а. Тогда: 1) PM1 и MQ1 — направляющие векторы прямых PM1 …
Подробнее…
473. Лучи ОА, ОВ и ОС образуют три прямых угла АОВ, АОС и ВОС. Найдите угол между биссектрисами углов СОА и АОВ
Глава V. Метод координат в пространстве. § 2. Скалярное произведение векторов → номер 473 Введем прямоугольную систему координат так, что луч ОА будет совпадать с осью Ох, ОВ с осью Оу, ОС с осью Oz. Отложим на лучах отрезки: ОА=ОВ=ОС=1. Получим тетраэдр АВОС. ОМ и ON — …
Подробнее…