Глава V. Метод координат в пространстве. § 2. Скалярное произведение векторов → номер 474 Решение. Зададим прямоугольную систему координат Oxyz так, как показано на рисунке 133, и рассмотрим единичный вектор a, сонаправленный С вектором AC1. Вектор a имеет Координаты Отсюда получаем Или Так как угол φ острый, …
Подробнее…
Archive for марта, 2013
474. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 ∠BAC1 = ∠DAC1=60°. Найдите φ= ∠A1AC1
476. Угол между диагональю АС1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 и каждым из ребер АВ и AD равен 60°. Найдите ∠САС1
Глава V. Метод координат в пространстве. § 2. Скалярное произведение векторов → номер 476 Пусть ∠СAС1=φ. Введем прямоугольную систему координат Oxyz, рассмотрим единичный вектор а, сонаправленный с вектором AC1. Следовательно, φ=45°.
477. Проекция точки К на плоскость квадрата ABCD совпадает с центром этого квадрата. Докажите, что угол между прямыми АК и BD равен 90°
Глава V. Метод координат в пространстве. § 2. Скалярное произведение векторов → номер 477 Введем прямоугольную систему координат Oxyz. Обозначим сторону квадрата через а, КК1=b, где К1 — точка пересечения диагоналей, или центр Квадрата. Тогда Точка K1— центр квадрата, следовательно, Тогда Используя формулу скалярного произведения векторов, найдем …
Подробнее…
483. При зеркальной симметрии относительно плоскости α плоскость β; отображается на плоскость β;1. Докажите, что если: а) β;||α, то β;1||α; б) β;⊥α, то β;1 совпадает с β
Глава V. Метод координат в пространстве. § 3. Движения → номер 483 483. При зеркальной симметрии относительно плоскости α плоскость β отображается на плоскость β1. Докажите, что если: а) β||α, то β1||α; б) β⊥α, то β1 совпадает с β. а) Выберем три точки в плоскости А, В, …
Подробнее…
478. Найдите координаты точек, в которые переходят точки А(0; 1; 2), В (3; — 1; 4), С(1; 0; —2) при: а) центральной симметрии относительно начала координат; б) осевой симметрии относительно координатных осей; в) зеркальной симметрии относительно координат
Глава V. Метод координат в пространстве. § 3. Движения → номер 478 478. Найдите координаты точек, в которые переходят точки А(0; 1; 2), В (3; — 1; 4), С(1; 0; —2) при: а) центральной симметрии относительно начала координат; б) осевой симметрии относительно координатных осей; в) зеркальной симметрии …
Подробнее…
479. Докажите, что при центральной симметрии: а) прямая, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей прямую; б) прямая, проходящая через центр симметрии, отображается на себя
Глава V. Метод координат в пространстве. § 3. Движения → номер 479 а) По известной теореме через центр симметрии и данную прямую можно провести единственную плоскость. Пусть О — центр симметрии, а — данная прямая, α — плоскость, проведенная через О и а. Пусть А ∈ а, …
Подробнее…
480. Докажите, что при центральной симметрии: а) плоскость, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей плоскость; б) плоскость, проходящая через центр симметрии, отображается на себя
Глава V. Метод координат в пространстве. § 3. Движения → номер 480 а) Пусть О — центр симметрии, α — данная плоскость. 1. Пусть точку С ∈ а, построим отрезок СО и продолжим его за точку О на расстояние ОС1 = ОС. 2. Пусть точка А ∈ …
Подробнее…
481. Докажите, что при осевой симметрии: а) прямая, параллельная оси, отображается на прямую, параллельную оси; б) прямая, образующая с осью угол φ, отображается на прямую, также образующую с осью угол φ
Глава V. Метод координат в пространстве. § 3. Движения → номер 481 а) Пусть а — ось симметрии, l || α. Из точки L ∈ l проведем LA⊥a; продолжим LA за точку А на расстояние АМ=LA. Из точки L1∈ l проведем L1A1⊥a продолжим L1A1 за точку А1 …
Подробнее…
482. При зеркальной симметрии прямая a отображается на прямую а1. Докажите, что прямые a и a1 лежат в одной плоскости
Глава V. Метод координат в пространстве. § 3. Движения → номер 482 Выберем плоскость Оху. Пусть прямая а параллельна плоскости Оху. Точки М и L, N и К симметричны; МА=AL, NB=BX. Если а параллельна плоскости Оху, то NB=МА=BК=AL, две прямые, перпендикулярные плоскости, между собой параллельны, тогда ML||NK. …
Подробнее…
484. Докажите, что при параллельном переносе на вектор р, где р≠0: а) прямая, не параллельная вектору р и не содержащая этот вектор, отображается на параллельную ей прямую; б) прямая, параллельная вектору р или содержащая этот вектор, отображается на с
Глава V. Метод координат в пространстве. § 3. Движения → номер 484 484. Докажите, что при параллельном переносе на вектор р, где р≠0: а) прямая, не параллельная вектору р и не содержащая этот вектор, отображается на параллельную ей прямую; б) прямая, параллельная вектору р или содержащая этот …
Подробнее…