Задачи повышенной трудности → номер 775 Пусть A1A2…A8 — данный куб с ребром а, р — прямая, проходящая через его центр О, Так как То Если А х, у — Координаты в системе с осями А1А2 и А1А4, то По теореме косинусов из ΔOPAi имеем Где Причем …
Подробнее…
Archive for марта, 2013
775. Докажите, что сумма квадратов расстояний от вершин куба до прямой, проходящей через его центр, не зависит от положения этой прямой
776. Разбейте куб на шесть равных тетраэдров
Задачи повышенной трудности → номер 776 Куб можно разбить на три четырехгранные пирамиды AC’CDD’, АС’СВВ’, AC’B’A’D’ с общей вершиной А, общим боковым ребром АС и основаниями — гранями куба. Они равны, так как совмещаются поворотами вокруг АС’ на 120° и 240°. Каждую из них можно разбить на …
Подробнее…
777. Комната имеет форму куба. Паук, сидящий в середине ребра, хочет, двигаясь по кратчайшему пути, поймать муху, сидящую в одной из самых удаленных от паука вершин куба. Как должен двигаться паук?
Задачи повышенной трудности → номер 777 Паук сидит в середине М ребра АВ, а муха — на вершине D1. На развертке куба кратчайший путь между М и D1 — отрезок прямой (рис. 577). Примем ребро куба равным 1. Тогда: Но И наук Должен передвигаться по отрезкам D1K …
Подробнее…
778. Докажите, что в кубе можно вырезать сквозное отверстие, через которое можно протащить куб таких же и даже больших размеров
Задачи повышенной трудности → номер 778 Проекция данного куба ABCDA1B1C1D1 на плоскость α, перпендикулярную его диагонали А1С, является правильным шестиугольником A’B’B1’C1’D1’D’. Ребра куба, исходящие из вершин А1 и С, образуют с α равные углы; обозначим их величины через φ. В ΔAA1C Все стороны полученного шестиугольника равны каждая …
Подробнее…
779. Площадь боковой грани правильной шестиугольной пирамиды равна S. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середину высоты пирамиды и параллельной плоскости боковой грани
Задачи повышенной трудности → номер 779 Плоскость сечения проходит через середину О, высоты РО правильной пирамиды PABCDEF и параллельна плоскости грани РАВ. Она пересекает плоскость основания по прямой А1В1 || АВ, плоскость PFC по прямой F1C1 || А1В1 и плоскость PED по прямой E1D1||A1B1. Пусть То Гда …
Подробнее…
780. Какую наибольшую длину может иметь ребро правильного тетраэдра, который помещается в коробку, имеющую форму куба со стороной 1 см?
Задачи повышенной трудности → номер 780 Если тетраэдр содержится в кубе (рис. 580), то он находится внутри сферы, описанной около этого куба; наибольший из таких тетраэдров — это тетраэдр, вписанный в эту сферу. Тетраэдр AB1CD1 содержится в кубе и вписан в сферу, описанную около куба. Если ребро …
Подробнее…
781. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Докажите, что пересечение тетраэдров AB1CD1 и C1BA1D есть правильный октаэдр
Задачи повышенной трудности → номер 781 Пересечение тетраэдров AB1CD1 и C1BAD есть многогранник с вершинами в центрах M, N, К, L, Р, Q граней куба, то есть октаэдр. Например, его грань MNP ограничена отрезками Октаэдр — правильный: он Выпуклый, грани его — Правильные треугольники со Стороной Где …
Подробнее…
782. Докажите, что из конечного числа попарно различных кубов нельзя составить прямоугольный параллелепипед
Задачи повышенной трудности → номер 782 Пусть ABCD — грань наименьшего куба, прилежащего к грани параллелепипеда. К его сторонам должны прилежать большие кубы. Но если к AB и CD они уже приложены, то к ВС и AD приложить их нельзя.
783. Внутри куба с ребром 1 см расположена ломаная, причем любая плоскость, параллельная любой грани куба, пересекает ее не более чем в одной точке. Докажите, что длина ломаной меньше 3 см. Докажите также, что можно построить ломаную, обладающую указанным
Задачи повышенной трудности → номер 783 783. Внутри куба с ребром 1 см расположена ломаная, причем любая плоскость, параллельная любой грани куба, пересекает ее не более чем в одной точке. Докажите, что длина ломаной меньше 3 см. Докажите также, что можно построить ломаную, обладающую указанным свойством, длина …
Подробнее…
784. Докажите, что для любого выпуклого многогранника сумма числа граней и вершин больше числа ребер на 2 (теорема Эйлера)
Задачи повышенной трудности → номер 784 Пусть выпуклый многогранник имеет f граней, k ребер и е вершин. Отделив от него какую-нибудь грань, получим многогранную поверхность Р1. Отделив от P1 грань, прилежащую к его краю, получим многогранную поверхность Р2. Продолжая этот процесс, получим через s шагов Поверхность Ps …
Подробнее…