Задачи повышенной трудности → номер 785 Прямая, соединяющая любые две противоположные вершины правильного додекаэдра, является для него осью симметрии 3-го порядка, то есть при повороте вокруг нее на 120° или 240° додекаэдр совмещается с собой. Пусть А — вершина додекаэдра, O1, O2, O3 центры прилежащих граней (рис, …
Подробнее…
Archive for марта, 2013
785. Докажите, что центры граней правильного додекаэдра являются вершинами правильного икосаэдра
786. Докажите, что центры граней правильного икосаэдра являются вершинами правильного додекаэдра
Задачи повышенной трудности → номер 786 Рассуждения, как и в №785; используются оси симметрии 5-го порядка (рис. 584). Доказательства №785, 786 интуитивны, так как материала для строгих доказательств в учебнике нет.
787. В правильном треугольнике ABC сторона равна а. Отрезок AS длины а перпендикулярен к плоскости ABC. Найдите расстояние и угол между прямыми АВ и SC
Задачи повышенной трудности → номер 787 Рассмотрим параллелограмм ABCD. Искомый угол α равен углу между SC и прямой DC, параллельной АВ, то есть углу SCD. Искомое расстояние d есть расстояние от точки А прямой АВ до плоскости SCD, проходящей через DC параллельно АВ, то есть высота тетраэдра …
Подробнее…
788. В правильном треугольнике ABC сторона равна а. На сонаправленных лучах BD и СЕ, перпендикулярных к плоскости ABC, взяты точки D и Е так, что BD=a/√2 , СЕ = а√2. Докажите, что треугольник ADE прямоугольный, и найдите угол между плоскостями
Задачи повышенной трудности → номер 788 788. В правильном треугольнике ABC сторона равна а. На сонаправленных лучах BD и СЕ, перпендикулярных к плоскости ABC, взяты точки D и Е так, что BD=a/√2 , СЕ = а√2. Докажите, что треугольник ADE прямоугольный, и найдите угол между плоскостями ABC …
Подробнее…
789. Используя векторы, докажите, что сумма квадратов четырех диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов двенадцати его ребер
Задачи повышенной трудности → номер 789 Если То Аналогично: При сложении квадратов этих трехчленов удвоенные произведения взаимно уничтожаются:
790. Основание ABC тетраэдра ОАВС прозрачное, а все остальные грани зеркальные. Все плоские углы при вершине О прямые. Докажите, что луч света, вошедший в тетраэдр через основание ABC под произвольным углом к нему, отразившись от граней, выйдет в противоп
Задачи повышенной трудности → номер 790 790. Основание ABC тетраэдра ОАВС прозрачное, а все остальные грани зеркальные. Все плоские углы при вершине О прямые. Докажите, что луч света, вошедший в тетраэдр через основание ABC под произвольным углом к нему, отразившись от граней, выйдет в противоположном направлении по …
Подробнее…
791. Из точки А исходят четыре луча АВ, AC, AD и АЕ так, что ∠ВАС=60°, ∠BAD= ∠DAC = 45°, а луч АЕ перпендикулярен к плоскости ABD. Найдите угол САЕ
Задачи повышенной трудности → номер 791 Пусть С лежит по одну сторону с Е от ABD, Тогда в треуголь Нике ABC В ΔABD по теореме косинусов В ΔBDC тогда И по теореме, обратной теореме Пи Фагора, Так как еще и То По условию, AE⊥ABD, Следовательно, И Если …
Подробнее…
792. Докажите, что высоты тетраэдра пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда противоположные ребра тетраэдра перпендикулярны
Задачи повышенной трудности → номер 792 Пусть высоты АА1, ВВ1, СС1, DD1 тетраэдра ABCD пересекаются в точке H; α — плоскость АВН, Т. к. И То Аналогично Т. к. То Но Следовательно, Аналогично доказывается, что Обратно, пусть α — плоскость АВА1. Так как А поскольку и по …
Подробнее…
793. Три боковые ребра тетраэдра равны друг другу. Докажите, что прямая, образующая равные углы с этими ребрами, перпендикулярна к плоскости основания
Задачи повышенной трудности → номер 793 Если в тетраэдре ABCD То Откуда
794. Все плоские углы тетраэдра ОABC при вершине О прямые. Докажите, что проекция вершины О на плоскость ABC есть точка пересечения высот треугольника ABC
Задачи повышенной трудности → номер 794 Доказано в №770. Доказательство согласно указанию в учебнике: если То Отсюда вследствие перпендикулярности векторов a и c, a и b, BC и d: Аналогично