Задачи повышенной трудности → номер 805 Пусть MN — средняя линия грани OCD, OO1 и NN1 — перпендикуляры к основанию пирамиды, К— ее объем, (так как Высота, проходящая через вершину А, общая), Высота, проходящая через вершину A, общая) Высота OO1 Общая), Плоскость делит объем в отношении 3 …
Подробнее…
Archive for марта, 2013
805. Основанием пирамиды OABCD является параллелограмм ABCD. В каком отношении делит объем пирамиды плоскость, проходящая через прямую АВ и среднюю линию грани OCD?
806. Даны три параллельные прямые, не лежащие в одной плоскости. На одной из них взят отрезок АВ, а на двух других — точки С и D соответственно. Докажите, что объем тетраэдра ABCD не зависит от выбора точек С и D
Задачи повышенной трудности → номер 806 Пусть α — плоскость, Содержащая а и с, (рис. 602). Тогда SABC не зависит от положения С, длина DD0 не зависит от положения D, следовательно Не зависит от Положения С и D.
807. Точки Е и F — середины ребер DC и ВВ1 куба ABCDA1B1C1D1 с ребром 1 см. Найдите объем тетраэдра AD1EF
Задачи повышенной трудности → номер 807 Воспользуемся задачей №803. Расстояние между скрещивающимися прямыми AF и D1E, то есть расстояние между содержащими их параллельными гранями куба, равно AD = 1 см. Если — середина СС1 и То И угол меж Ду AF и D1E равен углу Если То …
Подробнее…
808. В двух параллельных плоскостях взяты два многоугольника. Их вершины соединены отрезками так, что у полученного многогранника все боковые грани — трапеции, треугольники и параллелограммы. Докажите, что
Задачи повышенной трудности → номер 808 где V — объем многогранника, h — его высота, S1 и S2 — площади оснований, а S3 — площадь сечения плоскостью, параллельной плоскостям оснований и равноудаленной от них. Пусть О — какая-нибудь точка на среднем сечении данного многогранника. Разобьем его на …
Подробнее…
809. Два равных цилиндра, высоты которых больше их диаметров, расположены так, что их оси пересекаются под прямым углом и точка пересечения осей равноудалена от оснований цилиндров. Найдите объем общей части этих цилиндров, если радиус каждого из них раве
Задачи повышенной трудности → номер 809 809. Два равных цилиндра, высоты которых больше их диаметров, расположены так, что их оси пересекаются под прямым углом и точка пересечения осей равноудалена от оснований цилиндров. Найдите объем общей части этих цилиндров, если радиус каждого из них равен 1 см. Если …
Подробнее…
810. Вокруг данного шара описан конус с углом а при вершине осевого сечения При каком значении а конус имеет наименьший объем?
Задачи повышенной трудности → номер 810 Отсюда По необходимому условию экстремума Так как при , а при То V имеет Минимум. Тогда Если То Из ΔASC:
811. В конус вписан шар. Докажите, что отношение объемов конуса и шара равно отношению площадей полной поверхности конуса и сферы, являющейся границей шара
Задачи повышенной трудности → номер 811 Пусть АС= R — радиус основания конуса, AS= l — его образующая, SC=h — его высота, ОМ=r— радиус вписанного шара (см. рис. к №810). Тогда
812. Правильная четырехугольная пирамида, у которой сторона основания равна а, а плоский угол при вершине равен а, вращается вокруг прямой, проходящей через вершину параллельно стороне основания. Найдите объем полученного тела вращения
Задачи повышенной трудности → номер 812 При повороте пирамиды SABCD вокруг прямой p, параллельной АВ, отрезки A0A, SM, В0В, перпендикулярные р, займут соответственно положения A0A1, SM1, B0B1 в плоскости SA2B2. Поэтому тело, полученное при ее вращении, совпадает с телом, полученным при вращении многоугольника A1A2SB2B1. Его объем равен …
Подробнее…
813. Шар образован вращением полукруга вокруг прямой, содержащей диаметр. При этом поверхность, образованная вращением некоторой хорды, один конец которой совпадает с концом данного диаметра, разбивает шар на две равные по объему части. Найдите косинус уг
Задачи повышенной трудности → номер 813 813. Шар образован вращением полукруга вокруг прямой, содержащей диаметр. При этом поверхность, образованная вращением некоторой хорды, один конец которой совпадает с концом данного диаметра, разбивает шар на две равные по объему части. Найдите косинус угла между этой хордой и диаметром. Пусть …
Подробнее…
814. Все высоты тетраэдра пересекаются в точке Н. Докажите, что точка Н, центр О описанной сферы и точка G пересечения отрезков, соединяющих вершины с точками пересечения медиан противоположных граней тетраэдра, лежат на одной прямой (прямая Эйлера), прич
Задачи повышенной трудности → номер 814 814. Все высоты тетраэдра пересекаются в точке Н. Докажите, что точка Н, центр О описанной сферы и точка G пересечения отрезков, соединяющих вершины с точками пересечения медиан противоположных граней тетраэдра, лежат на одной прямой (прямая Эйлера), причем точки О и H …
Подробнее…