Задачи повышенной трудности → номер 795 Пусть О — центр сферы, SA = а, SB = b, SC = с — данные хорды, α — плоскость SAB, ω — сечение сферы этой плоскостью. Так как ∠ASB = 90°, то АВ — диаметр для ω. Если DS — …
Подробнее…
Archive for марта, 2013
795. Из точки сферы проведены три попарно перпендикулярные хорды. Докажите, что сумма их квадратов не зависит от положения этих хорд
796. Найдите множество центров всех сечений шара плоскостями, проходящими через данную прямую, не пересекающую шар
Задачи повышенной трудности → номер 796 Плоскость α, проходящая через данную прямую а, пересекает сферу по некоторой окружности с центром С. Пусть СА ⊥ a, β — плоскость OAC. Тогда ОС ⊥ α так как а ⊂ α, то ОС ⊥ a, кроме того, СА ⊥ a, …
Подробнее…
797. Найдите множество всех точек, из которых можно провести к данной сфере три попарно перпендикулярные касательные прямые
Задачи повышенной трудности → номер 797 Пусть SA, SB, SC — данные касательные к сфере радиуса R с центром О. ΔASO = ΔBSO = ΔSCO как прямоугольные по гипотенузе SO и катету R, следовательно, SA = SB = SC. ΔASB = ΔBSC = ΔCSA по двум катетам, …
Подробнее…
798. В тетраэдр с высотами h1, h2, h3, h4 вписан шар радиуса R. Докажите, что
Задачи повышенной трудности → номер 798 Данный тетраэдр состоит из четырех пирамид с вершинами в центре шара, высотами, равными R, и основаниями, совпадающими с гранями тетраэдра. Если объем тетраэдра V и площади его граней То Откуда С другой стороны, Следовательно,
799. Какому условию должны удовлетворять радиусы трех шаров, попарно касающихся друг друга, чтобы к ним можно было провести общую касательную плоскость?
Задачи повышенной трудности → номер 799 Пусть O1 — центры данных шаров, где i=1,2,3,ri — их радиусы, где Ai — их точки касания с плоскостью. Тогда Аналогично Так как То И по свойству сторон Треугольника (при равенстве точки лежат на Одной прямой), отсюда
800. На плоскости лежат четыре шара радиуса R, причем три из них попарно касаются друг друга, а четвертый касается двух из них. На эти шары положены сверху два шара меньшего радиуса г, касающиеся друг друга, причем каждый из них касается трех больших шаро
Задачи повышенной трудности → номер 800 800. На плоскости лежат четыре шара радиуса R, причем три из них попарно касаются друг друга, а четвертый касается двух из них. На эти шары положены сверху два шара меньшего радиуса г, касающиеся друг друга, причем каждый из них касается трех …
Подробнее…
801. На плоскости лежат три шара радиуса R, попарно касающиеся друг друга. Основание конуса лежит в указанной плоскости, а данные шары касаются его извне. Высота конуса равна λR. Найдите радиус его основания
Задачи повышенной трудности → номер 801 Если A1,A2,A3 — точки касания шаров с плоскостью и О — центр основания конуса, то A1A2 = A1А3 = A2А3 = 2R и О — центр окружности, описанной около треугольника A1A2A3 Следовательно, Пусть треугольник ASB — осевое сечение конуса, OA = …
Подробнее…
802. Плоскости АВ1С1 и А1ВС разбивают правильную треугольную призму ABCA1B1C1 на четыре части. Найдите отношение объемов этих частей
Задачи повышенной трудности → номер 802 Точки М и N делят пополам диагонали прямоугольников ABB1A1 и АСС1А1 поэтому MN — средняя линия в треугольнике ВА1С (рис. 598). Пусть V объем призмы. Тогда (AA1 — общая высота), (АР — общая высота), следовательно:
803. Докажите, что объем тетраэдра равен 1/6abcsinφ, где а и b — противоположные ребра, а φ и с — соответственно угол и расстояние между ними
Задачи повышенной трудности → номер 803 Дополним данный тетраэдр ABCD1 до параллелепипеда: Тогда Высота параллелепипеда По задаче 776:
804. Докажите, что плоскость, проходящая через ребро и середину противоположного ребра тетраэдра, разделяет его на две части, объемы которых равны
Задачи повышенной трудности → номер 804 Если То Следовательно (основание ABC — общее), т. о.