§17. Перпендикулярность прямых и плоскостей → номер 32 Пусть DE и AC — данные наклонные. Проведем DM ⊥ β. Тогда DM = АВ расстояние между двумя параллельными плоскостями. Так что DM = AB = d. Далее по теореме Пифагора: Так что Но тогда ΔEMD — прямоугольный, поэтому:
Archive for марта, 2013
33. Концы данного отрезка, не пересекающего плоскость, удалены от нее на 0,3 м и 0,5 м. Как удалена от плоскости точка, делящая данный отрезок в отношении 3 : 7?
§17. Перпендикулярность прямых и плоскостей → номер 33 Пусть АВ — данный отрезок, С — точка на нем, такая что АС : СВ = 3 : 7. АА1, СС1, ВВ1 — перпендикуляры, опущенные из точек А, С, В на плоскость α АА1 = 0,3м, ВВ1 = 0,5м. …
Подробнее…
34. Через середину отрезка проведена плоскость. Докажите, что концы отрезка находятся на одинаковом расстоянии от этой плоскости
§17. Перпендикулярность прямых и плоскостей → номер 34 Пусть АВ — данный отрезок, точка О — середина отрезка, через точку О проведена плоскость. Проведем АА1 и ВВ1 перпендикуляры на плоскость α. По теореме 18.4 прямые АА1 и ВВ1, а вместе с ними и отрезок АВ и точка …
Подробнее…
35. Через диагональ параллелограмма проведена плоскость. Докажите, что концы другой диагонали находятся на одинаковом расстоянии от этой плоскости
§17. Перпендикулярность прямых и плоскостей → номер 35 Пусть АС и BD — диагонали параллелограмма и точка О — середина диагоналей. Проведем плоскость α через диагональ BD. Проведем перпендикуляры AS и CS, на плоскость α. Тогда треугольники ΔAOS и ΔCOS1 — прямоугольные: АО =ОС — по свойству …
Подробнее…
36. Найдите расстояние от середины отрезка АВ до плоскости, не пересекающей этот отрезок, если расстояние от точек А и В до плоскости равны: 1) 3,2 см и 5,3 см; 2) 7,4 см и 6,1 см; 3) а и b
§17. Перпендикулярность прямых и плоскостей → номер 36 Пусть АВ — искомый отрезок. Е — середина отрезка АВ. АА1, ЕЕ1, ВВ1 — перпендикуляры, опущенные из точек А, Е, В на плоскость α. По теореме 17.4 эти перпендикуляры параллельны между собой. Тогда решим сначала общий случай AA1 = …
Подробнее…
37. Решите предыдущую задачу, считая. что отрезок АВ пересекает плоскость
§17. Перпендикулярность прямых и плоскостей → номер 37 Решим общий случай: O — середина AB. ΔADB — прямоугольный. OO1 — средняя линия. Тогда Если a > b, то Так что в любом случае Подставив числа, получим:
38. Отрезок длины 1 м пересекает плоскость, концы его удалены от плоскости на 0,5 м и на 0,3 м. Найдите длину проекции отрезка на плоскость
§17. Перпендикулярность прямых и плоскостей → номер 38 Пусть отрезок AB пересекает плоскость α в точке O. Спроектируем его на плоскость α. Проведем перпендикуляры AA1 и BB1 AA1 = 0,3 м, BB1 = 0,5 м. Проведем через т. A прямую, параллельную A1B1. Она пересечет продолжение отрезка BB1 …
Подробнее…
39. Через основание трапеции проведена плоскость, отстающая от другого основания на расстояние а. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до этой плоскости. если основания трапеции относятся как m : n
§17. Перпендикулярность прямых и плоскостей → номер 39 Пусть ABCD и α — данные трапеция и плоскость. О — точка пересечения диагоналей трапеции. ВВ1 и ОО1 — перпендикуляры к плоскости α. Тогда BB1 = a. Так как ΔOAD ~ ΔOCB, то Далее рассмотрим ΔBB1D ВВ1 и ОО1 …
Подробнее…
41. Из вершины квадрата восстановлен перпендикуляр к его плоскости. Расстояния от конца этого перпендикуляра до других вершин квадрата равны а и b (а < b). найдите длину перпендикуляра и сторону квадрата
§17. Перпендикулярность прямых и плоскостей → номер 41 Пусть SA — данный перпендикуляр. Тогда SB = SD = а (так как равные наклонные имеют равные проекции). АВ ⊥ ВС (стороны квадрата). SB ⊥ ВС (по теореме о трех перпендикулярах). Значит, ΔSBC — прямоугольный, поэтому по теореме Пифагора: …
Подробнее…
42. Из вершины прямоугольника восстановлен перпендикуляр к его плоскости. Расстояние от конца этого перпендикуляра до других вершин прямоугольника равны а, b, с (а < c, b < c). найдите длину перпендикуляра и стороны прямоугольника
§17. Перпендикулярность прямых и плоскостей → номер 42 Пусть SA — данный перпендикуляр. Тогда SD, SC и SB — наклонные, SD = b, SC = c, SB = a. ΔSDC = 90° (теорема о 3-х перпендикулярах). Так что ΔSDC — прямоугольный. Поэтому Так что DC = АВ …
Подробнее…