Задачи на построение → номер 351
Решение приведено в учебнике.
Решение
Даны три отрезка M1N1, M2N2, M3N3 (рис. 148, а). Требуется построить такой треугольник ABC, у которого две стороны, скажем АВ и АС, равны соответственно данным отрезкам M1N1 и M2N2, а высота АН равна отрезку M3N3. Проведем решение задачи по описанной схеме.
Анализ
Допустим, что искомый треугольник ABC построен (рис. 148, б). Мы видим, что сторона АВ и высота АН являются гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника АВН. Поэтому построение треугольника ABC можно провести по такому плану: сначала построить прямоугольный треугольник АВН, а затем достроить его до всего треугольника ABC. Построение
Строим прямоугольный треугольник АВН, у которого гипотенуза АВ равна отрезку M1N1, а катет АН равен данному отрезку M3N3. Как это сделать, мы знаем (задача 314, в). На рисунке 149, а изображен построенный треугольник АВН. Затем проводим окружность радиуса M2N2 с центром в точке А. Одну из точек пересечения этой окружности с прямой ВН обозначим буквой С. Проведя отрезки ВС и АС, получим искомый треугольник ABC (рис. 149, б).
Доказательство
Треугольник ABC действительно искомый, так как по построению сторона АВ равна M1N1, сторона АС равна M2N2, а высота АН равна M3N3, т. е. треугольник ABC удовлетворяет всем условиям задачи. Исследование
Нетрудно сообразить, что задача имеет решение не при любых данных отрезках M1N1, M2N2, М3N3. В самом деле, если хотя бы один из отрезков M1N1 и M2N2 меньше M3N3, то задача не имеет решения, так
Как наклонные АВ и АС не могут быть меньше перпендикуляра АН. Задача не имеет решения и в том случае, когда M1N1=M2N2=M3N3 (объясните почему). В остальных случаях задача имеет решение. Если М1N1>М3N3, а M2N2=M3N3, то задача имеет единственное решение: в этом случае сторона АС совпадает с высотой АН и искомый треугольник является прямоугольным (рис. 149, в). Если М1N1>М3N3, а M2N2=M1N1 то задача также имеет единственное решение: в этом случае треугольник ABC равнобедренный (рис. 149, г). И наконец, если M2N2>M3N3 и М1N1≠М2N2, то задача имеет два решения — треугольники ABC и АВС1 на рисунке 149, д.