Дано:
Маленький шарик (Ш2) массой m подвешен на пружине жесткостью k и несет заряд q .
В начальный момент шарик удерживают так, что пружина не деформирована.
Под шариком на расстоянии h лежит такой же шарик (Ш1) с зарядом — q. Верхний шарик отпускают.
Найти:
При каком минимальном значении q нижний шарик подпрыгнет?
Решение
Ш1 попадает в ситуацию начала подпрыгивания, если
-m*g+ gamma*q^2/(h-xb)^2=0 (1)
То есть когда сила реакции опоры, действующая на него, становится равна 0. Здесь xb – величина смещения Ш2 вниз. Причем для подпрыгивания левая часть(1) должна стать хотя бы чуть больше 0. Это достигается при
(q^2)min= m*g/gamma*(h-xb)^2 (2)
Правая часть (2) минимизируется при xbmax. Последняя величина может быть найдена из условия остановки движения Ш2 вниз.
-m*g+ k*xb- gamma*q^2/(h-xb)^2= 0 (3)
Подставив сюда (2), найдем:
-2*m*g+ k*xb= 0 => xbmax= 2*m*g/ k (4)
Подстановка (4) в (2) дает:
(q^2)min = m*g/gamma*(h- 2*m*g/ k)^2 => qmin= (h- 2*m*g/ k)*sqrt(m*g/gamma),
что и требовалось найти.
***
Но давайте посмотрим, а всё ли в решении верно?
О чем говорит условие (3)? О равенстве 0 равнодействующей, приложенной к Ш2. Но при этом равно 0 ускорение, а не скорость!
Поэтому правильно это условие сформулировать, исходя из закона сохранения механической энергии Ш2:
m*g*h+gamma*q^2/h^2=m*g(h-xb)+gamma*q^2/(h-xb)^2+k*xb^2+m*v(xb)^2/2
В точке остановки Ш2 последнее слагаемое правой части (=кинетическая энергия)=0, поэтому:
m*g*h+gamma*q^2/h^2=m*g(h-xbmax)+gamma*q^2/(h-xbmax)^2+k*xbmax^2 (3)
Решив (3) относительно xbmax, подставив его в (2), а затем решив полученное уравнение относительно qmin, получим ответ задачи.