Глава III Многогранники. Дополнительные задачи → номер 318
1) Найдем косинус двугранного угла тетраэдра: Пусть ребро тетраэдра DABC равно а. Проведем высоту DH и апофему DM грани DAC. Тогда ∠DMH — линейный угол двугранного угла правильного тетраэдра.
Таким образом
Где а — двугранный угол тетраэдра. 2) Найдем косинус половины двугранного угла правильного октаэдра MABCDN:
Проведем апофему МН грани MAD и пусть MN пересекает плоскостью ABCD в точке О. Тогда точка О — точка пересечения диагоналей квадрата ABCD и МО⊥ABCD. Поэтому
Следовательно, ∠MHO — линей ный угол двугранного угла
Таким образом
Таким образом
Где β — половина двугранного угла правильного октаэдра. Тогда α + 2β — сумма двугранных углов тетраэдра и октаэдра.
Поэтому
Что и требовалось доказать.