Попросите задумавшего умножить первое из задуманных чисел на 2 и к произведению прибавить 5, полученную сумму умножить на 5 и к результату прибавить 10. К полученному числу прибавить второе задуманное число и все умножить на 10; к полученному результату прибавить третье задуманное число и опять умножить на 10; потом прибавить четвертое из задуманных чисел и опять умножить на 10 и т. д. Словом, пусть задумавший несколько чисел, каждое из которых не превышает десяти, постоянно умножает на 10 и прибавляет одно из задуманных чисел, пока не прибавит последнего. Вслед за тем пусть задумавший числа объявит последнюю полученную им сумму; и если задумано только два числа, то, вычтя из этой суммы 35, найдем, что число десятков остатка дает первое задуманное число, а число простых единиц дает второе задуманное число. Если же задумано три числа, то из сказанной вам суммы вычтите 350, и тогда число сотен даст первое задуманное число, число десятков — второе, число простых единиц — третье. Если задумано четыре числа, то из сказанной вам суммы вычтите 3500, и тогда чийло тысяч остатка даст первое задуманное число, число сотен — второе, число десятков — третье; число простых единиц — четвертое. Ясно, что в случае пяти задуманных чисел нужно из сказанного вам результата вычитать 35 000 и т.д.
Пример. Пусть задуманы 3, 5, 8, 2. Удваивая первое из них, получаем 6; прибавляя 5, находим 11; умножая это число на 5, имеем 55; прибавляя 10, получаем 65; прибавляя второе задуманное число, получаем 70; умноженное на 10, оно дает 700; прибавь ляя сюда третье задуманное чиско, получаем 708; умножая на 10, получаем 7080; прибавляя сюда четвертое число, получаем 7082. Если теперь из этого последнего числа вычесть 3500, то получится остаток 3582, который и выражает по порядку цифр задуманные числа: 3, 5, 8, 2.
Доказательство. Пусть задуманные числа будут а, Ь, с, d, … Над ними производятся следующие действия:
для первых двух чисел:
(2а + 5)*5 = 10а + 25, 10а + 25 + 10 = 10а + 35, 10а + 35 + b = 10а + b + 35;
для третьего числа:
(10а + b + 35)*10 + с = 100а + 10b + с + 350;
для четвертого:
(100а + 10b + с + 350)*10 + d = 1000а + 100b + 10c + d + 3500
и т.д.
Отсюда ясно, что, вычитая из результата 35, 350, 3500, смотря по количеству задуманных чисел, мы получим все задуманные числа в виде цифр остатка, считая слева направо.
Замечание. Эту задачу, изложенную в довольно общем виде, можно, очевидно, видоизменять и прилагать ко многим частным случаям.
Так, например, при игре в кости* с помощью этой задачи можно угадать, не глядя, число выброшенных каждой костью очков. И это тем более легко, что число очков каждой кости не превышает шести. Способ угадывания и правила остаются совершенно те же.
* (Кость — это кубик, на каждой из шести граней которого написано по одной цифре от 1 до 6.)