Чтобы читатель представлял себе, о каких задачах идёт речь, приведем пример задачи этого типа:
Дана правильная треугольная пирамида TABC, в основании которой лежит треугольник (АВС) со стороной 10 см. Найти площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку N ребра AT так, что AN = 3*NT, через точку K ребра AB так, что AK = KB, если сечение параллельно медиане AD треугольника АВС и находится на расстоянии от неё (от медианы), равном 5*(3^0.5)/4 см.
Такие задачи сегодня хорошо известны абитуриентам (по крайней мере, московских вузов) и вызывают повышенный интерес.
Вместе с тем автору известно лишь одно пособие, в котором уделяется достаточное внимание этой теме – Родионов Д.Е., Родионов Е.М. Стереометрия в задачах. Пособие для поступающих в вузы. М.: — Светоч Л, 1998.
В этом пособии подробно разобраны приемы дополнительных построений, являющихся ключевыми для решения всех задач этого класса. Эти приемы зависят от вида решаемой задачи, которых автор насчитывает 5. А именно:
1)расстояние от точки до плоскости;
2)расстояние от точки до прямой;
3)угол между прямой и плоскостью;
4)угол между скрещивающимися прямыми;
5)угол между плоскостями.
Как видно, эта классификация основана на типе данных, которые требуется найти (или которые даны в условиях). Кроме того, могут встречаться и комбинированные задачи, когда дано, например, данное типа 1, а найти нужно – данное типа 3.(или когда нужно найти данные 2-х (или более) типов).
Однако упомянутые построение нередко сопряжены с рядом трудностей, среди которых – неизменные свойства аксонометрических проекций, состоящие в том, что мы должны полагать свойства строящихся объектов
(например, что эта прямая перпендикулярна данной прямой. Поскольку прямой угол не сохраняется при таких проекциях)(и тогда из них последуют свойства других объектов)
или доказывать их
(например, что эта прямая пересекается с данной прямой. Поскольку 3-е измерение в (аксоно)проекциях нам доступно только опосредовано. Например, прямая пересекается с другой прямой (несмотря на то, что их проекции на чертеже пересекаются)
только в том случае, если они лежат в одной плоскости
(по построению или по доказательству).
Другой пример: прямые, в аксонопроекции параллельные, могут быть в реальности и скрещивающимися.)
Почти от всех этих недостатков свободен метод, который корректнее всего назвать координатно-векторным )(или сокращенно — КВМ)(хотя во многих пособиях он называется координатным. Или векторным). По той простой причине, что этот метод заключается во введении (-привязке к исследуемым фигурам) декартовой системы координат, а затем – исчислении образующихся векторов (их длин и углов между ними).(то есть одно без другого не работает => не имеет смысла.) Этот метод — довольно мощный (то есть ему поддаются даже самые «непробиваемые» казалось, бы задачи). Все те соотношения, которые при решении традиционным методом даются с большим трудом (через привлечение большого количества вспомогательных теорем), здесь получаются как бы сами собой, в ходе вычислений. Весь этот подход, развитый до своего логического завершения, в высшей математике получает название аналитической геометрии. (что, для лучшей доступности, можно перевести как исчисление фигур. А точнее – исчисление построений. Поскольку проведение, например, перпендикуляра к плоскости здесь сводится исключительно к вычислениям.) Единственный его, пожалуй, недостаток – это требуемый нередко большой объем вычислений.
Однако при решении задач стереометрии КВМ становится недостаточным. В том смысле, что для решения таких задач тех знаний по векторной алгебре, которые включены в школьную программу, уже не хватает. Но недостаток этот весьма невелик и вполне доступен для понимания учащимся (старших классов) средней школы. Вследствие чего и было принято решение изложить его в данной статье.
Но прежде, чем излагать это дополнение, повторим все элементы (определения и теоремы) КВМ, даваемые в средней школе:
1)отрезку соответствует вектор (но вектор – это направленный отрезок. => каждому отрезку можно привести в соответствие 2 вектора);
В дальнейшем векторные величины будем обозначать жирным шрифтом.
2)вектор (как и точка) задается его координатами (а точнее — кортежем (то есть упорядоченным множеством) координат);
3)координаты вектора исчисляются как разность соответствующих координат его конечной и начальной точки
(то есть вектор (при вычислениях) – это фактически только направление (без точки приложения (=начала) направленного отрезка), хотя и дополненное его модулем);
4)длина отрезка равна длине (-модулю) соответствующего ему вектора
(исчисляемого (в прямоугольной декартовой) системе координат по теореме Пифагора
|a|=sqrt(ax^2+ay^2+az^2));
Определение 1:
Сумма векторов есть вектор, координаты которого равны сумме соответственных координат векторов-слагаемых.
5)длина третьей стороны треугольника найдется как модуль суммы (или разности, в зависимости от (выбранных) направлений векторов) векторов, соответствующих 2-м другим сторонам треугольника;
6)если вектора сонаправлены (а отрезки – параллельны), то 2-ой вектор равен 1-ому вектору, помноженному не скаляр (-скалярную константу):
a=k*b, где k – константа (иначе: отношения их соответственных координат равны);
6а)если отрезок AB делится точкой C в отношении m/n, то вектор АС=m/(m+n)*AB (соответственно CB=n/(m+n)*AB).
Это свойство помогает вывести уравнение прямой:
r(k)-r0=k*l
где
r — радиус-вектор текущей точки прямой;
r0 — радиус-вектор реперной точки прямой;
l — направляющий вектор прямой;
k — некоторая константа.
Комментарий: обозначение r(k) показывает, что каждому значению константы k соответствует точка на прямой.
Причем положительные k дают луч (от точки r0) в направлении l, а отрицательные — в противоположном направлении.
Определение 2:
Скалярное произведение векторов есть скаляр (=число), равное сумме произведений соответственных координат векторов-сомножителей.
7)если вектора перпендикулярны, то их скалярное произведение равно 0;
Именно это свойство скалярного произведения помогает вывести уравнение плоскости:
(r-r0)*n=0
где r – радиус-вектор текущей точки плоскости;
r0 – радиус-вектор реперной точки плоскости (то есть заведомо лежащей на ней);
n — вектор нормали к плоскости.
7А)скалярное произведение векторов переместительно;
8)угол между векторами (и соответствующими им отрезками. И прямыми) найдется как их скалярное произведение, деленное на модули этих векторов.
Что еще нужно знать (в дополнение к школьному курсу по векторной алгебре) для решения задач вышеуказанного типа?
Сначала разовьем те знания, которые даны в школе:
1)расстояние от точки до плоскости равно проекции отрезка, соединяющего данную точку точку и (любую) точку на плоскости, на нормаль (=перпендикуляр) к плоскости;
2)расстояние между прямой и плоскостью равно проекции отрезка, соединяющего (любую) точку на прямой и (любую) точку на плоскости, на нормаль (=перпендикуляр) к плоскости;
3)угол между прямой и плоскостью равен углу между этой прямой и нормалью к плоскости, дополнительному до Pi/2;
4)угол между скрещивающимися (и иными) прямыми равен углу между их направляющими векторами;
Комментарий: направляющий вектор прямой — это (любой) вектор, сонаправленный с ней.
5)расстояние от точки до прямой равно проекции отрезка А, соединяющего эту точку с любой точкой на прямой, на нормаль к прямой, лежащую в плоскости, проходящей через эту прямую и отрезок А;
6)угол между плоскостями равен углу между нормалями к общей прямой, лежащими в данных плоскостях;
7)(ортогональная) проекция отрезка А на вектор В найдется как скалярное произведение отрезка на вектор, деленное на длину вектора В;
Но основой дополнительных знаний КВМ является понятие векторного произведения:
Определение 3:
Векторное произведение вектора В1 на вектор В2 (непереместительно!) найдется как определитель:
| i j k |
B1 x B2= |B1x B1y B1z| =
|B2x B2y B2z|
= i*(B1y*B2z-B1z*B2y)-j*(B1x*B2z-B1z*B2x)+k*(B1x*B2y-B1y*B2x)
где i, j, k – орты (=единичные вектора) соответственно осей Ox, Oy, Oz.
Внимательный читатель заметит (и на это обращаем внимание!), что, стало быть, векторное произведение (в отличие от скалярного) само является вектором. (отсюда и его название)
На базе этого понятия выводятся следующие теоремы:
8)векторное произведение 2-х векторов перпендикулярно каждому из этих векторов;
8А)модуль векторного произведения равен произведению модулей сомножителей на синус угла между ними;
Эти 2 свойства векторного произведения используется для нахождения нормали (n) к плоскости (если она не дана) и вывода уравнения плоскости в виде:
(r0-r1)x(r0-r2)*(r-r0)=0,
где r – радиус-вектор текущей точки плоскости;
r0, r1, r2 – радиус-вектора реперных точек плоскости.
8Б)если вектора сонаправлены, то их векторное произведение равно 0;
Это свойство помогает вывести уравнение прямой в виде:
(r-r0)xl=0
где r – радиус-вектор текущей точки прямой;
r0 – радиус-вектор реперной точки прямой.
l — направляющий вектор прямой.
Комментарий: легко показать, что уравнение прямой в этом виде, естественно, равносильно уравнению прямой в 1-ом виде:
r(k)-r0=k*l
9)площадь треугольника равна половине модуля векторного произведения его 2-х (любых) сторон;
10)площадь параллелограмма найдется как модуль векторного произведения его 2-х смежных сторон;
11)ортогональная проекция вектора на плоскость равна модулю векторного произведения вектора на нормаль к плоскости, деленному на модуль нормали.
12)расстояние от точки до прямой равно ортогональной проекции отрезка, соединяющего эту точку с любой точкой на прямой, на плоскость, нормалью к которой является данная прямая.
С применением этих теорем любые стереометрические задачи решаются исключительно путем вычислений, без громоздких построений. Но начало решению, естественно, кладет привязка к исследуемым геометрическим объектам системы координат. Выбирать которую следует из соображений наибольшей простоты получаемых выражений.
Приложение
Эти сведения потребуются вам для решения других задач по стереометрии (с применением КВМ) и аналитической геометрии.
Определение 4:
Смешанное произведение векторов В1, В2 и B3 — это векторное произведение В1 и В2, скалярно помноженное на B3.
(переместительно ли оно? — это предстоит выяснить читателю!)
Легко показать, что оно найдется как определитель:
|B1x B1y B1z|
B1xB2*B3= |B2x B2y B2z|
|B3x B3y B3z|
и является скаляром.
На базе этого понятия выводятся следующие замечательные теоремы (предлагаю также сделать это читателю!):
13)объем параллелепипеда равен смешанному произведению векторов ребер, исходящих из какой-либо его вершины.
(собственно, это и есть — предметный смысл (-интерпретация) смешанного произведения векторов.)
14)объем пирамиды равен половине смешанного произведения векторов ребер, исходящих из какой-либо её вершины.