Дано:
По наклонной плоскости (угол alpha=75deg) соскальзывает доска массой
m1, на которой находиться брусок массой m2 коэффициент трения между
плоскостью и доской — k1=0.11, а между доской и бруском k2=0.15. Найти
ускорение бруска.
Решение
Начнем разбор сил с бруска. На него действуют: сила тяжести Fт2, сила реакции доски N2 и сила трения со стороны доски Fтр2. На доску действуют: сила тяжести Fт1, вес бруска P2, сила реакции наклонной плоскости N1, сила трения со стороны наклонной плоскости Fтр1, а также сила трения со стороны доски Fтр2’. Последняя сила появляется в соответствии с 3-им законом Ньютона:
Fтр2’=- Fтр2 (в векторной форме) (0)
Направим ось х системы координат вдоль наклонной плоскости вниз, а ось у – перпендикулярно ей вверх. Тогда в проекциях на оси координат уравнение 2-го закона Ньютона для доски (с учетом (0)) запишется в виде:
m1*a1x= Fт1*sin(alfa)+Fтр2-Fтр1 (1)
m1*a1y=-Fт1*cos(alfa)-P2 +N1 (2)
А для бруска:
m2*a2x= Fт2*sin(alfa)-Fтр2 (3)
m2*a2y=-Fт2*cos(alfa) +N2 (4)
Поскольку никакого движения ни доски, ни бруска вдоль оси у нет, то
a1y=0; a2y=0 (5)
Силы тяжести:
Fт1=m1*g; Fт2=m2*g (6)
Кроме того, вес бруска:
P2=Fт2*cos(alfa) (7)
Поскольку в условиях сказано, что доска соскальзывает, то режим силы Fтр1 – движение.
Следовательно:
Fтр1=k1*N1 (8)
Поскольку в задаче требуется найти a2x, то положим (это необходимо, так как в условиях не даны численные значения m1 и m2), что режим силы Fтр2 – тоже движение. Поэтому:
Fтр2=k2*N2 (9)
Подставляя соотношения (5-9) в (1-4), получаем систему уравнений относительно a1x, N1, a2x, N2.
Казалось бы, поскольку система (3-4) независима от системы (1-2), то решение последней не понадобится (a2x найдется из 3-4)). Однако это не так, потому что (9) верно только при условии , что a2x>a1x (10) (то есть брусок соскальзывает относительно доски вниз). Поэтому решение (1-2) необходимо для проверки условия (10). Если оно не выполняется, то это означает, что брусок покоится относительно доски (a2x=a1x), а (9) не действует. (Брусок не при каких обстоятельствах не будет двигаться вверх относительно доски (a2x
Решение (1-4) с учетом исходных данных показывает, что имеет место 2-ой случай.