Дано:
3 одинаковых одноименно заряженных шарика, заряд каждого из которых равен q, а масса m, соединены невесомыми, нерастяжимыми и не проводящими нитями длиной L каждая так, что нити образуют равносторонний треугольник. Нить между шариками 1 и 3 пережигают.
Найти максимальную скорость шарика 2.
Решение
С самого начала совершенно ясно, что задача решается применением закона сохранения энергии (ЗСЭ): потенциальная энергия кулоновского взаимодействия между шариками после пережигания нити преобразуется в кинетическую энергию шариков. Но дальше начинаются вопросы: тогда как начальная ситуация для применения ЗСЭ – это любая ситуация перед пережиганием, то в какой ситуации скорость шарика 2 максимальна?
Так как после пережигания нити шарики 1 и 3, вследствие кулоновской силы, начинают разлетаться и приобретать скорость то очевидно, что максимальная их скорость будет достигнута в ситуации, когда они удалятся на максимальное расстояние (2*L) и окажутся на одной прямой с шариком 2 (назовем эту ситуацию ситуацией Б). Что же касается шарика 2, то он, вроде бы … остается на месте. Что же тогда говорить о его скорости?
Ну а если рассматривать всё движение относительно шарика 1? Тогда, конечно, шарик 2 движется. Данный вопрос высвечивает и еще одну проблему решения: а относительно какой системы координат рассматривать движение?
Посмотрим внимательно: первоначальная (сразу после пережига) физическая ситуация характерна полной симметрией относительно высоты треугольника 123, опущенной из расположения шарика 2. Эта симметрия будет сохраняться и впоследствии (потому что нет ни одного фактора, выводящего систему из состояния симметрии) Стало быть удобно выбрать в качестве начала СК любую точку, лежащую на указанной высоте, а ось у направить вверх по этой прямой. В такой СК в любой момент времени v1=-v3 (векторная форма)
Теперь возвратимся к вопросу о максимуме скорости v2. Может быть, в ситуации Б максимальна и эта скорость? По крайней мере, в данной ситуации потенциальная энергия взаимодействия шариков 1 и 3 минимальна, а значит максимальна сумма кинетических энергий шариков.
Но как эта энергия распределяется между шариками? Для этого нужно знать уравнение связи скоростей шариков. Наиболее простой вид оно будет иметь, если начало СК расположить в точке А — пересечении высоты 2А с основанием 13. Тогда: v1y=0, v3y=0, v1x=-v3x, v2x=0 (0).
Из прямоугольного треугольника 2А3:
x3^2+y2^2=L^2
Отсюда:
X3=sqrt(L^2-y2^2) (1)
Дифференцируя (1) по t, получим скорость:
Vx3=-y2*v2y/sqrt(L^2-y2^2)=-y2/x3*v2y (2)
Так как в ситуации Б y2=0, то с учетом (2) (в этой ситуации) v3x=0. После этого становится очевидно, что максимум скорости шарика 2 имеет место именно в ситуации Б.
В этой ситуации полная энергия
E1= q^2/(4*pi*eps0*(2*L)^2)+m*v2y^2 (3)
Здесь потенциальные энергии в парах 2-1 и 2-3 не учтены, поскольку высвобождается только энергия 1-3. Соответственно с этим энергия в начальной ситуации:
E0=q^2/(4*pi*eps0*L^2) (4)
По ЗСЭ E0=E1. Из этого уравнения, с учетом (3-4), найдется v2y. А с учетом (0) v2=v2y.
Найденное значение скорости — относительно СК с началом в точке А. Но эта СК неинерциальна (в ней ЗС импульса не выполняется). Инерциальной СК является СК, связанная с центром масс системы (поскольку на систему не действуют внешние силы, aЦМ=0). Но в этой СК v1y не=0, v3y не=0, поэтому для решения задачи нужна еще одна связь. Ею станет ЗС импульса.