151. Прямая CD перпендикулярна к плоскости треугольника ABC. Докажите, что: а) треугольник ABC является проекцией треугольника ABD на плоскость АВС; б) если CH — высота треугольника ABC, то DH — высота треугольника ABD

Глава II Перпендикулярность прямых и плоскостей. §2 Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью. → номер 151

Дано: CD ⊥ (АВС); DH — высота в ABD.

Решение:

Найдем проекцию границы ΔABD на (ABC).

Проекция DB на (АВС) — отрезок СВ; проекция DA на (АВС) — отрезок АС. АВ является своей проекцией.

Т. о. проекция границы ΔDAB на пл. АВС есть стороны ΔАВС, внутренние точки ΔDAB проектируются во внутренние точки ΔАВС, тогда ΔАВС есть проекция ΔDAB на плоскость АВС.

(теорема о 3-х перпендикулярах).

Таким образом, DH — высота ΔDAB. Что и требовалось доказать.