Глава III Многогранники. Дополнительные задачи → номер 309
Пусть МН — высота пирамиды MABCD. О — середина МН. Проведем сечение через сторону АВ = 6 дм и точку О. Так как точки А, O, H, M, С лежат в одной плоскости MAC, то прямая АО лежит и в плоскости сечения и в плоскости MAC. Поэтому точка N— точка пересечения АО и MC, также лежит в плоскости сечения. Аналогично точка К— точка пересечения ВО и MD тоже принадлежит сечению. Таким образом ABNK— искомое сечение (рис. 194а).
Докажем, что
Действительно:
Докажем, что
Рассмотрим
(рис. 194б). Проведем OO’ — среднюю линию ΔMHC и ОЕ — параллельно АС. Тогда из того, что
И
Следует, что
Значит
Но
(так как ОЕСО’ — параллелограмм), а
Поэтому
Аналогично рассматривая ΔMBD получаем, что
Поэтому
И коэффициент подобия равен 3. Так как АВ = 6 дм, то NK = 2 дм. Очевидно, что АВ || NK. Поэтому ABNK — трапеция. Проведем высоту FOG трапеции ABNK через точку О (рис. 195).
Тогда из подобия треугольников AOB и NOK следует, что
Таким образом:
