482. При зеркальной симметрии прямая a отображается на прямую а1. Докажите, что прямые a и a1 лежат в одной плоскости

Глава V. Метод координат в пространстве. § 3. Движения → номер 482

Выберем плоскость Оху.

Пусть прямая а параллельна плоскости Оху.

Точки М и L, N и К симметричны; МА=AL,

NB=BX. Если а параллельна плоскости Оху, то NB=МА=BК=AL, две прямые, перпендикулярные плоскости, между собой параллельны, тогда ML||NK. Далее, ML=NK и четырехугольник MNKL — прямоугольник, поэтому LK||MN или а1||а. А параллельные прямые лежат в одной плоскости.

Если а не параллельна Оху, то она пересекает эту плоскость в точке — Р. При симметрии точка Р переходит в себя, т. к. лежит в плоскости Оху. Таким образом, Р∈ а1 Т. е. прямые а и а1 имеют общую точку и лежат в одной плоскости.