515. Лучи ОА, ОВ и ОС расположены так, что ∠BOC = ∠BOA = 45°, ∠AOC = 60°. Прямая ОН перпендикулярна к плоскости АОВ. Найдите угол между прямыми ОН и ОС

Дополнительные задачи к главе V Метод координат в пространстве → номер 515

Из точки С проведем прямую CF перпендикулярную плоскости АОВ, в плоскости АОВ проведем FA ⊥ ОА, FB ⊥ ОВ. По теореме о трех перпендикулярах: СА ⊥ ОА и СВ ⊥ ОВ. Пусть ОС=а, тогда из ΔСOА:

Из ΔCOB:

Для ΔАOВ по теореме косинусов:

Таким образом, ΔAOB — равнобедренный, ОА=АВ; ∠АВO=45°, ∠OАВ=90°.

Тогда, FA совпадает с АВ и С проектируется в точку В.

Прямые НО и СВ перпендикулярны к плоскости АВО, т. е. они лежат в одной плоскости, ∠НOВ=90°, ∠COB=45°, таким образом, искомый угол Θ=45°.