Глава VI. Цилиндр, конус и шар § 2. Конус → номер 556 556. Основанием конуса с вершиной Р является круг радиуса r с центром О. Докажите, что если секущая плоскость α перпендикулярна к оси конуса, то сечение конуса представляет собой круг с центром O1 радиуса r1, где О1 — точка пересечения плоскости α с осью РО, а r1=PO1/PO ⋅r (см. рис. 145).
Решение. Докажем сначала, что любая точка M1, лежащая в плоскости α на окружности радиуса r1 с центром O1, лежит на некоторой образующей конуса, т. е. является точкой рассматриваемого сечения. Обозначим буквой М точку пересечения луча РМ1 с плоскостью основания конуса. Из подобия прямоугольных треугольников РО1М1 и РОМ (они подобны, так как имеют общий острый угол Р) находим: ОМ = PO/PO1 ⋅ O1M1 = PO/PO1 r1=r, т. е. точка М лежит на окружности основания конуса. Следовательно, отрезок РМ, на котором лежит точка M1, является образующей конуса.
Докажем теперь, что любая точка M1, лежащая как в плоскости α, так и на боковой поверхности конуса, лежит на окружности радиуса r1 с центром O1. Действительно, из подобия треугольников РО1М1 и РОМ (РМ — образующая, проходящая через точку М1) имеем
Таким образом, окружность радиуса г1 с центром О1 является сечением боковой поверхности конуса плоскостью α, поэтому круг, границей которого является эта окружность, представляет собой сечение конуса плоскостью α.
Альтернативное решение
Дано: α ⊥ оси конуса РО.
Докажем, что
1) сечение конуса плоскостью α будет кругом с центром в точке О1;
2)
Возьмем некоторую точку М1 ∈ α и точку М1 ∈ O1(r1). (на плоскости
α строим окружность с центром в точке О1 и радиуса r и на этой окружности выбираем произвольную точку М1).
Через точку Р и точку М1 проводим прямую РМ1, которая пересечет плоскость основания конуса в точке М. ΔРО1М1~ΔРОМ как прямоугольные, имеющие одинаковый острый угол.
При задан
Ной точке Р и окружности O1(r1).
Тогда: точка М — произвольная, значит, все точки луча РМ1, пересекающие плоскость основания конуса, лежат на окружности О(r), т. е. равноуда
Лены от некоторой точки О на расстояние r, что видно из формулы. РМ — образующая конуса по определению.
4) Образующие составляют коническую поверхность, поэтому докажем, что существует произвольная точка М1 ∈ α, M1 ∈ PM такая, что
M1 ∈ O1(r1).
5)
(РМ — образующая).
При заданной точке Р и г.
Тогда: эта окружность будет сечением боковой поверхности, а круг, границей которого является O1 (r1), будет сечением конуса плоскостью α.