792. Докажите, что высоты тетраэдра пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда противоположные ребра тетраэдра перпендикулярны

Задачи повышенной трудности → номер 792

Пусть высоты АА1, ВВ1, СС1, DD1 тетраэдра ABCD пересекаются в точке H; α — плоскость АВН,

Т. к.

И

То

Аналогично

Т. к.

То

Но

Следовательно,

Аналогично доказывается, что

Обратно, пусть

α — плоскость АВА1.

Так как

А поскольку и по ус

Ловию

То

Так как

Но вместе с

Тем

Поскольку

И

То

То

Есть ВВ0 совпадает с высотой ВВ1 тетраэдра.

Таким образом, высоты АA1 и ВВ1 тетраэдра пересекаются в точке H; аналогично и остальные высоты тетраэдра попарно пересекаются. Их точки пересечения совпадают, так как в противном случае все высоты тетраэдра лежали бы в одной плоскости.