160 Прямая а проходит через середину отрезка АВ и перпендикулярна к нему. Докажите, что: а) каждая точка прямой а равноудалена от точек А и B; б) каждая точка, равноудаленная от точек А и B, лежит на прямой а

Глава II. Треугольники. §4 Задачи на построение → номер 160

Пусть а пересекает АВ в точке О.

А) Выберем любую точку С на прямой а. ΔАВС — равнобедренный, так как СО — медиана и высота, значит, АВ = ВС.

Б) Пусть АС — СВ, где С — любая точка плоскости, удовлетворяющая равенству. Тогда ΔABC — равнобедренный и СО — медиана и высота. Значит, СО лежит на прямой а, т. е. С ∈ а.