Задумайте число; прибавьте к нему половину того же числа; к полученной сумме прибавьте половину этой же суммы. Затем нужно спросить, чему равно частное от деления последнего числа на 9, и умножить его на 4, как выше. Но и здесь, как всегда, нужно помнить, что если в первом случае число не делится нацело на 2, то нужно прибавить к нему 1 и затем поделить на две равные части; точно так же нужно поступать и во втором случае. А затем, если деление нацело не выполнялось только в первом случае, то угадывающий должен держать в уме 1, если только во втором, то 2, а если и в первом и во втором, то 3 и эти числа соответственно потом прибавлять для получения правильного ответа.
Пример. Задумано число 10; прибавляя к нему его половину, получим 15 — число нечетное; поэтому, прибавляя к нему 1 и беря половину, получим 8; прибавляя 8 к 15, получим 23; в этом числе 9 содержится 2 раза. Два раза по четыре равно 8, но к 8 надо прибавить еще 2, потому что во втором случае, чтобы разделить на 2 нацело, приходилось прибавлять 1. Итак, 8 + 2 = 10, т. е. получаем задуманное число.
Если число нечетное, то разделим его на две такие части, чтобы одна была на единицу больше другой, и условимся для краткости называть первое слагаемое большей половиной, а второе — меньшей. Тогда рассматриваемую нами задачу можно представить еще в одной довольно интересной форме.
Задумайте число. Прибавьте к нему его половину или, если оно нечетное, то его "большую половину". К этой сумме прибавьте ее половину или, если она нечетна, то ее "большую половину". Сколько раз в полученном числе содержится 9?
Умножив затем частное на 4, задумавшему число надо предложить такие вопросы: можно ли от остатка от деления на 9 отнять еще 8? Если можно, то, значит, чтобы получить задуманное число, нужно к числу, полученному от умножения частного на 4, прибавить 3.
Если же нельзя отнять 8, то надо спросить, нельзя ли отнять 5. Если можно, то нужно прибавить 2. Если же 5 нельзя вычесть, то спросить, нельзя ли вычесть 3, и если можно, то прибавляется 1.
Легко убедиться, что задача, предложенная в этой последней форме, сводится, в сущности, к предыдущим, потому что утроить число и взять потом половину полученного произведения — это все равно что прибавить к числу его половину и т. д.
Замечание. Понявший и всесторонне усвоивший доказательства приведенных выше задач в их различных видоизменениях может сам легко создать (множество правил, подобных предыдущим, для угадывания задуманного числа.
Можно, например, заставить утроить задуманное число, затем взять половину полученного произведения, эту половину предложить умножить уже на 5 и взять половину произведения. Вслед за тем спросить, чему равно частное от деления последнего числа на 15, и умножить его на 4. При этом, как и раньше, нужно к произведению прибавлять 1, 2 или 3, смотря по тому, когда деление на 2 не совершается нацело: в первом случае, во втором или в обоих вместе.
Внимательный читатель легко все это докажет сам.
Можно также, например, предложить умножить задуманное число на 5, взять половину полученного произведения, эту половину опять умножить на 5, полученное снова разделить на 2, а затем спросить, чему равно частное от деления найденного числа на 25, и умножить его на 4. При этом нужно иметь в виду опять-таки случаи, когда деление на 2 совершается нацело, а когда нет, и прибавить 1, 2 или 3, где следует, или же не прибавлять ничего, если деление на 2 в обоих случаях было нацело.
Словом, предложенные задачи можно разнообразить всячески.