Посмотрите на таблицу:
Может быть, эта закономерность (сумма, подряд стоящих нечетных чисел, начиная с 1, равна квадрату их числа) сохраняется и дальше. Как это проверить?
Решение. Нам нужно найти сумму всех нечетных чисел от 1 до 2n-1 и убедиться, что она равна n2. Это можно сделать различными способами. Мы предпочли геометрический.
Возьмем квадрат из n2 клеток и заштрихуем клетки так, как это сделано на рис. 45 для n = 6. Квадрат при этом распадается на чередующиеся по цвету участки. Сосчитаем количество клеток в них, начиная с левого верхнего угла. Первый участок состоит из одной клетки, второй — из 3 клеток, третий — из 5 и так далее, последний n-й участок состоит из 2n-1
клеток. Следовательно, число клеток в квадрате равно
Рис. 45
Это убеждает нас, что нужное равенство выполнено всегда.
С помощью геометрических представлений можно вычислять и многие другие суммы.