Задачка №152. Пешка и домино
Предположим, что у нас имеется шахматная доска и 32 косточки домино, каждая величиной в две клетки доски. Поставим на какую-нибудь клетку доски пешку, Можно ли оставшуюся часть доски покрыть костями домино так, чтобы ни одна кость не вылезала за пределы доски и кости не налегали друг на друга?
Решение. Если бы это можно было сделать, то покрытым оказалось бы четное число клеток: ведь каждая кость домино покрывает в точности две клетки. Но свободная часть доски состоит из 63 клеток. Ответ: невозможно.
Задачка №153. Две пешки и домино
Поставим две пешки на противоположные угловые поля доски. Можно ли оставшуюся часть доски покрыть костями домино так, как это требовалось в предыдущей задаче?
Решение. Каждая положенная на доску кость домино покрывает одно черное и одно белое поле. Поэтому, если какая-то часть доски покрыта костями домино, то она состоит из одинакового числа черных и белых полей. Но пешки, поставленные на доску, заняли два поля одного цвета; значит, в оставшейся части доски будет разное число черных и белых клеток (во всей доске 32 черных и 32 белых поля). Значит, ее нельзя покрыть костями домино.
Из приведенного рассуждения видно, что если мы поставим две пешки на любые поля одного цвета, то оставшаяся часть доски не может быть покрыта костями домино.
Задачка №154. Опять две пешки и домино
Поставим две пешки на поля разного цвета. Можно ли оставшуюся часть доски покрыть костями домино?
Решение. Рассмотрим замкнутую линию на рис. 145. Если пешки стоят на соседних полях, то разорванная линия будет состоять из одного куска, проходящего через 62 поля, при этом цвета полей чередуются. Легко видеть, что если мы начнем класть кости домино вдоль этой линии, то закроем всю оставшуюся часть доски. Если пешки не стоят на соседних полях, то линия разорвется на два непересекающихся куска. Каждый при этом будет проходить через четное число клеток (пешки стоят на полях разных цветов). Значит, каждый кусок линии может быть закрыт костями домино. Ответ: как бы мы ни расставляли две пешки на полях разных цветов, оставшуюся часть Доски всегда можно покрыть костями домино.