Задачи повышенной трудности. Задачи к главам III и IV → номер 338 А) Для начала рассмотрим случай, если одна из точек совпадает с вершиной треугольника (рис. а).
Archive for февраля, 2013
339 Отрезок ВВ1 — биссектриса треугольника ABC. Докажите, что ВА > В1А и ВС > В1С
Задачи повышенной трудности. Задачи к главам III и IV → номер 339 Из того, что угол, смежный с углом треугольника, больше каждого из двух других углов треугольника (задача № 173), следует, что
340 Внутри треугольника ABC взята точка D такая, что AD=AB. Докажите, что АС > АВ
Задачи повышенной трудности. Задачи к главам III и IV → номер 340
341 В треугольнике ABC сторона АВ больше стороны АС, отрезок AD — биссектриса. Докажите, что ∠ADB >∠ADC и BD > CD
Задачи повышенной трудности. Задачи к главам III и IV → номер 341
342 Докажите теорему: если в треугольнике биссектриса является медианой, то треугольник равнобедренный
Задачи повышенной трудности. Задачи к главам III и IV → номер 342 Равнобедренный. Что и требовалось доказать.
343 Две стороны треугольника не равны друг другу. Докажите, что медиана, проведенная из их общей вершины, составляет с меньшей из сторон больший угол
Задачи повышенной трудности. Задачи к главам III и IV → номер 343
344 В треугольнике ABC стороны АВ и АС не равны, отрезок AM соединяет вершину А с произвольной точкой М стороны ВС. Докажите, что треугольники АМВ и АМС не равны друг другу
Задачи повышенной трудности. Задачи к главам III и IV → номер 344 Но в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны, значит, АВ = АС, что противоречит условию, следовательно, наше предположение было неверно и ΔAMB не равен ΔAMC. Ч. т.д.
345 Через вершину А треугольника ABC проведена прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла А, а из вершины В проведен перпендикуляр ВН к этой прямой. Докажите, что периметр треугольника ВСН больше периметра треугольника ABC
Задачи повышенной трудности. Задачи к главам III и IV → номер 345 Продлим ВА за точку А так, чтобы РА = АС (Р — точка на продленном отрезке).
346 В треугольнике ABC, где АВ < АС, отрезок AD — биссектриса, отрезок АН — высота. Докажите, что точка Н лежит на луче DB
Задачи повышенной трудности. Задачи к главам III и IV → номер 346
347 Докажите, что в неравнобедренном треугольнике основание биссектрисы треугольника лежит между основаниями медианы и высоты, проведенных из этой же вершины
Задачи повышенной трудности. Задачи к главам III и IV → номер 347 Не ограничивая общности, будем считать, что ВС < АВ, тогда, по доказанному в задаче № 346, получим, что точка Н принадлежит лучу DC. По доказанному в задаче № 341, получим, что AD > DC, но …
Подробнее…