Задачи повышенной трудности. Задачи к главам III и IV → номер 348
Archive for февраля, 2013
349 Медиана и высота треугольника, проведенные из одной вершины угла треугольника, делят этот угол на три равные части. Докажите, что треугольник прямоугольный
Задачи повышенной трудности. Задачи к главам III и IV → номер 349
350 В треугольнике ABC высота АА1 не меньше стороны ВС, а высота ВВ1 не меньше стороны АС. Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный и прямоугольный
Задачи повышенной трудности. Задачи к главам III и IV → номер 350
351 Постройте треугольник по двум сторонам и высоте к третьей стороне
Задачи на построение → номер 351 Решение приведено в учебнике. Решение Даны три отрезка M1N1, M2N2, M3N3 (рис. 148, а). Требуется построить такой треугольник ABC, у которого две стороны, скажем АВ и АС, равны соответственно данным отрезкам M1N1 и M2N2, а высота АН равна отрезку M3N3. Проведем …
Подробнее…
352 Даны две точки А и B и прямая а, не проходящая через эти точки. На прямой а постройте точку, равноудаленную от точек А и B. Всегда ли задача имеет решение?
Задачи на построение → номер 352 Проведем срединный перпендикуляр l к отрезку АВ. Точка С пересечения прямых l и а — искомая. Исследование. Если прямая АВ перпендикулярна прямой а, то прямая l параллельна прямой а, т. е. решений нет. Если прямая а совпадает с прямой l, то …
Подробнее…
353 Постройте точку, лежащую на данной окружности и равноудаленную от концов данного отрезка. Сколько решений может иметь задача?
Задачи на построение → номер 353 Соединяем точки А и В. Находим К — середину АВ. Через К проводим перпендикуляр к АВ. Его точки пересечения с окружностью — искомые точки. В случае, когда перпендикуляр касается окрестности — одно решение, когда не пересекается — нет решений.
354 Через три данные точки проведите окружность. Всегда ли задача имеет решение?
Задачи на построение → номер 354 Соединяем точки А, В и С. Находим середины отрезков АВ, ВС и АС, соответственно К, L и М. Проводим перпендикуляры (серединные перпендикуляры ΔABC). Находим точку О-их точку пересечения. Проводим окружность радиуса АО = ВО = СО с центром в т. О. …
Подробнее…
355 Точки А и B лежат по одну сторону от прямой а. Постройте точку М прямой а так, чтобы сумма AM + MB имела наименьшее значение, т. е. была бы меньше суммы АХ + ХB, где X — любая точка прямой а, отличная от М
Задачи на построение → номер 355 Из точки А опускаем перпендикуляр на а. Пусть К — точка пересечения. С другой стороны прямой откладываем точку А’ с условием АК = А’А. Соединяем точки А’ и В. Пусть М — пересечение А’В и пр. а. М — искомая точка, …
Подробнее…
356 Постройте прямоугольный треугольник ABC, если даны острый угол B и биссектриса BD
Задачи на построение → номер 356 Построим ∠XBY= ∠B и биссектрису этого угла. Отложим на биссектрисе отрезок BD и проведем через точку D прямую перпендикулярную лучу OY. Обозначим точку пересечения этой прямой с лучом ОХ буквой А, с лучом OY — буквой С. Треугольник ABC — искомый. …
Подробнее…
357 На данной окружности постройте точку, равноудаленную от двух данных пересекающихся прямых. Сколько решений может иметь задача?
Задачи на построение → номер 357 Делим углы пересекаемых прямых. Проводим биссектрисы. Точки пересечения биссектрисы с окружностью — искомые. Например ΔAC1K1 = ΔAB1K1 (прямоугольные треугольники с равным острым углом и общей гипотенузой), значит C1K1 = В1К1. Задача может иметь 1, 2, 3,4 решения или не иметь решения …
Подробнее…