Глава III Многогранники. § 3. Правильные многогранники → номер 285 Указание: Доказать из подобия треугольников, что отрезки, соединяющие центры граней равны одной трети от ребра тетраэдры (см. зад. 286 б).
Archive for марта, 2013
286. В правильном тетраэдре h — высота, m — ребро, а n — расстояние между центрами его граней. Выразите: а) m через h; б) n через m
Глава III Многогранники. § 3. Правильные многогранники → номер 286 В тетраэдре DABC: Центры граней ABC и DBC. А) Б) Заметим, что в плоскости ADH треугольники ADH и O2O1H подобны, так как — общий. Тогда Таким образом
287. Ребро правильного октаэдра равно а. Найдите расстояние между: а) двумя его противоположными вершинами; б) центрами двух смежных граней; в) противоположными гранями
Глава III Многогранники. § 3. Правильные многогранники → номер 287 Указание: а) В октаэдре MABCDM1 расстояние MM1 — диагональ квадрата МАСМ1. б) Провести медианы этих граней к общему ребру. Тогда доказать, что искомые расстояния — треть расстояния между противоположными вершинами октаэдра. в) Доказать, что эти грани параллельны, …
Подробнее…
313. Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды равны 12 дм и 6 дм, а ее высота 1 дм. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды
Глава III Многогранники. Дополнительные задачи → номер 313 Достроим эту усеченную пирамиду до правильной пирамиды РАВС и проведем высоту РН1Н, где H1 ∈ A1B1C1, H ∈ ABC (рис. 199). Так как То А1С1 — средняя линия ΔРАС. Поэтому AA1 = А1Р; CC1 = C1P. Аналогично ВВ1 = …
Подробнее…
288. Докажите, что число вершин любой призмы четно, а число ребер кратно 3
Глава III Многогранники. Дополнительные задачи → номер 288 Предположили, что дана призма с n-угольником в основании. Тогда количество вершин равно n + n = 2n, а количество ребер складывается из п ребер нижнего основания, п ребер верхнего основания и n боковых ребер. Таким образом количество ребер равно …
Подробнее…
289. Докажите, что площадь полной поверхности куба равна 2d2, где d — диагональ куба
Глава III Многогранники. Дополнительные задачи → номер 289 Пусть сторона куба равна a. Тогда
290. Угол между диагональю основания прямоугольного параллелепипеда, равной l, и одной из сторон основания равен φ. Угол между этой стороной и диагональю параллелепипеда равен 0. Найдите площадь боковой поверхности данного параллелепипеда
Глава III Многогранники. Дополнительные задачи → номер 290 Найдем стороны параллелепипеда Тогда: Тогда
291. В прямоугольном параллелепипеде диагональ, равная d, образует с плоскостью основания угол φ, а с одной из сторон основания — угол Θ. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда
Глава III Многогранники. Дополнительные задачи → номер 291 . Диалогично задаче 290.
292. В правильной четырехугольной призме сторона основания равна 6 см, боковое ребро равно 8 см. Найдите расстояние от стороны основания до не пересекающей ее диагонали призмы
Глава III Многогранники. Дополнительные задачи → номер 292 Найдем расстояние между C1D1 и А1С. Для этого надо провести через А1С плоскость, параллельную С1D. Эта плоскость А1В1CD. Найдем расстояние от C1D1 до плоскости A1B1CD. Оно равно расстоянию от точки D1 до плоскости А1В1CD. Проведем высоту D1H в ΔA1D1D. …
Подробнее…
293. В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 диагонали B1D и D1B взаимно перпендикулярны. Докажите, что угол между диагоналями А1С и B1D призмы равен 60°
Глава III Многогранники. Дополнительные задачи → номер 293 293. В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 диагонали B1D и D1B взаимно перпендикулярны. Докажите, что угол между диагоналями А1С и B1D призмы равен 60°. Заметим, что ВВ1D1D — прямоугольник. а так как диагонали перпендикулярны, то это квадрат. Пусть АВ = …
Подробнее…