Глава IV. Векторы в пространстве Дополнительные задачи → номер 384 Так как С1 — середина AB, то (рис. 230) Аналогично Сложив полученные равенства, получаем: Ч. т. д.
Archive for марта, 2013
385. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника ABCD, пересекаются в точке М. Точка О — произвольная точка пространства. Докажите, что
Глава IV. Векторы в пространстве Дополнительные задачи → номер 385 Тогда Что и требовалось доказать.
386. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что для любой точки М пространства справедливо неравенство
Глава IV. Векторы в пространстве Дополнительные задачи → номер 386 Указание. О — есть точка пересечения средних линий параллелограмма. Тогда можно воспользоваться задачей 385.
387. Три точки М, N и Р лежат на одной прямой, а точка О не лежит на этой прямой. Выразите вектор ОР через векторы ОМ и ON, если: a) NP = 2MN; б) МР-½PN; в) МР = k-MN, где k—данное число
Глава IV. Векторы в пространстве Дополнительные задачи → номер 387 а) Но Поэтому Б) Так как Т. е. В) Аналогично п. а).
388. Докажите, что векторы р, а и b компланарны, если: а) один из данных векторов нулевой; б) два из данных векторов коллинеарны
Глава IV. Векторы в пространстве Дополнительные задачи → номер 388 Чтобы доказать компланарность, достаточно показать, что один вектор раскладывается по двум другим векторам. а) Пусть Тогда Что и означает, что векторы Компланарны. б) Пусть — коллинеарны, т. е. Тогда Т. е. Компланарны.
389. На двух скрещивающихся прямых отмечены по три точки: A1, A2, A3 и B1, B2, B3, причем A1A2=k-A1A3, В1В2= k-В1В3. Докажите, что прямые А1В1, А2В2, A3B3 параллельны некоторой плоскости
Глава IV. Векторы в пространстве Дополнительные задачи → номер 389 389. На двух скрещивающихся прямых отмечены по три точки: A1, A2, A3 и B1, B2, B3, причем A1A2=k⋅A1A3, В1В2= k⋅В1В3. Докажите, что прямые А1В1, А2В2, A3B3 параллельны некоторой плоскости. (рис. 233) Вычтем из первого равенства второе с …
Подробнее…
390. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, в котором AB = AD = a, AA1 = 2а. В вершинах B1 и D1 помещены заряды q, а в вершине A — заряд 2q. Найдите абсолютную величину результирующей напряженности электрического поля: а) в точке A1; б) в точке С
Глава IV. Векторы в пространстве Дополнительные задачи → номер 390 390. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, в котором AB = AD = a, AA1 = 2а. В вершинах B1 и D1 помещены заряды q, а в вершине A — заряд 2q. Найдите абсолютную величину результирующей напряженности электрического поля: …
Подробнее…
391. В тетраэдре ABCD точка К — середина медианы ВВ1 грани BCD. Разложите вектор АК по векторам а = АВ, b = АС, с=AD
Глава IV. Векторы в пространстве Дополнительные задачи → номер 391 Так как К — середина ВВ1, то Но Таким образом
392. На трех некомпланарных векторах р = АВ, q = AD, г=АА1 построен параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Разложите по векторам р, q и г векторы, образованные диагоналями этого параллелепипеда
Глава IV. Векторы в пространстве Дополнительные задачи → номер 392 Аналогично задаче 359
393. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка К—середина ребра СС1. Разложите вектор: а) АК по векторам АВ, AD, АА1; б) DA1 по векторам АВ1, ВС1, CD1
Глава IV. Векторы в пространстве Дополнительные задачи → номер 393 393. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка К—середина ребра СС1. Разложите вектор: а) АК по векторам АВ, AD, АА1; б) DA1 по векторам АВ1, ВС1, CD1. А) Но Таким образом Б) Поэтому