§ 4. Сумма углов треугольника → номер 46 В ΔАСС1: ∠А = 70° (из условия), ∠С1 = 90°, ∠АСС1 = 90° — 70° = 20°. В ΔАСА1: ∠С = 80° (из условия), ∠А1 = 90°, ∠А1АС = 90° — 80° = 10°. В ΔАМС: т. к. сумма …
Подробнее…
Archive for февраля, 2013
№ 46. Высоты треугольника АВС, проведенные из вершин А и С, пересекаются в точке М. Найдите ∠АМС, если ∠А = 70°, ∠С = 80°
№ 47. В треугольнике АВС медиана BD равна половине стороны АС. Найдите угол В треугольника
§ 4. Сумма углов треугольника → номер 47 Пусть ∠ADB = х, тогда ∠BDC = 180° — х (смежный угол). ΔADB и ΔDBC равнобедренные (по построению). Таким образом, Ответ: 90°.
№ 48. Прямая а пересекает отрезок ВС в его середине. Докажите, что точки В и С находятся на одинаковом расстоянии от прямой а
§ 4. Сумма углов треугольника → номер 48 Проведем через точки В и С прямые, перпендикулярные прямой а. В ΔABB1 и ΔACC1: ∠ВАВ1 = ∠САС1 (как вертикальные), ∠В1 = ∠С1 = 90° АВ = АС (по условию). ∠В = 90° — ∠ВАВ1 = 90° — ∠С1АС = …
Подробнее…
№ 49. Отрезок ВС пересекает прямую а в точке О. Расстояния от точек В и С до прямой а равны. Докажите, что точка О является серединой отрезка ВС
§ 4. Сумма углов треугольника → номер 49 В ΔОВВ1 и ΔОСС1: ∠ВОВ1 = ∠СОС1 (как вертикальные), ∠В1 = ∠С1 = 90° ∠В = 90° — ∠ВОВ1 = 90° — ∠С1ОС = АС ОВ = ОС (из условия) Таким образом, ΔОВВ1 = ΔОСС1 по 2-му признаку равенства …
Подробнее…
№ 50. Докажите, что расстояния от любых двух точек прямой до параллельной прямой равны
§ 4. Сумма углов треугольника → номер 50 Задача решена в п. 36 учебника (стр. 49).
№ 51. Докажите, что расстояния от вершин равностороннего треугольника до прямых, содержащих противолежащие им стороны, равны
§ 4. Сумма углов треугольника → номер 51 Построим высоты АА1, ВВ1, СС1. В ΔАВВ1, ΔВ1ВС и ΔАС1С: АС = АВ = ВС ∠А = ∠С = ∠В (т. к. ΔАВС — равнобедренный), таким образом, ΔАВВ1 = ΔВ1ВС = ΔАС1С по гипотенузе и острому углу, откуда ВВ1 …
Подробнее…
№ 11. Окружности с радиусами 30 см и 40 см касаются. Найдите расстояние между центрам окружностей в случаях внешнего и внутреннего касания
§ 5. Геометрические построения → номер 11 Точки О, А, О1 лежат на одной прямой. Рассмотрим 2 случая 1) Случай внешнего касания окружностей. ОО1 = ОА + О1А = 30 + 40 = 70 см 2) Случай внутреннего касания окружностей. О1О = ОА — О1А = 40 …
Подробнее…
№ 16*. 1) Из одной точки проведены две касательные к окружности. Докажите, что отрезки касательных МР и MQ равны. 2) Докажите, что через одну точку не может проходить больше двух касательных к окружности
§ 5. Геометрические построения → номер 16 1) В ΔОРМ и ΔOQM: ОМ — общая, ОР = OQ, как радиусы, ОР ⊥ МР, OQ ⊥ MQ (т. к. МР и MQ — касательные). Таким образом, ΔОРМ = ΔOQM по 1-му признаку равенства треугольников. Откуда МР = МQ. …
Подробнее…
№ 1. Докажите, что любой луч, исходящий из центра окружности, пересекает окружность в одной точке
§ 5. Геометрические построения → номер 1 Луч пересечет окружность на расстоянии радиуса от центра окружности. Другой точки окружности на луче быть не может, т. к. на луче можно отложить только один отрезок данной длины. Утверждение доказано.
№ 2. Докажите, что прямая, проходящая через центр окружности, пересекает окружность в двух точках
§ 5. Геометрические построения → номер 2 Прямая — это два луча, исходящих из одной точки, между которыми угол равен 180°. Таким образом, на основе предыдущей задачи доказываем эту.