Глава V. Метод координат в пространстве. § 2. Скалярное произведение векторов → номер 454 Следовательно, углы при основании равны. ABC — равнобедренный. Вычислим |ВС| и |АВ| Вычислим площадь ΔABC: Где AD⊥BC Точка D — середина отрезка ВС, т. к. ΔABC — равнобедренный. Тогда D (1;0;2). Следовательно,
Archive for марта, 2013
455. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Вычислите косинус угла между векторами: а) АА1 и AC1; б) BD1 и DB1; в) DB и АС1
Глава V. Метод координат в пространстве. § 2. Скалярное произведение векторов → номер 455 Пусть сторона куба равна а, следовательно: А) В прямоугольном треугольнике АА1С1 положим, АА1= =0, тогда По теореме Пифагора. Б) Векторы Лежат в плоскости BB1D, сечение куба этой плоскостью — это прямоугольник BB1D1D со …
Подробнее…
456. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, в котором АВ = 1, ВС = СС1 = 2. Вычислите угол между векторами DB1 и BC1
Глава V. Метод координат в пространстве. § 2. Скалярное произведение векторов → номер 456 Введем прямоугольную систему координат с началом в точке D. Тогда, координаты вершин прямоугольного параллелепипеда: Где А это координаты точки В1.
457. Известно, что а^с = b^с = 60°, |а| = 1, |b| = |с| = 2. Вычислите (а + b) с
Глава V. Метод координат в пространстве. § 2. Скалярное произведение векторов → номер 457 (распределительный закон);
458. Докажите справедливость равенства (a + b + с) d = ad + bd + cd
Глава V. Метод координат в пространстве. § 2. Скалярное произведение векторов → номер 458 Решение. Запишем сумму трех векторов а, b и с в виде а+b+с = (а+b)+с. Пользуясь распределительным законом скалярного произведения векторов, получаем (a+b+c)d=((a+b)+c)d=(a+b)d+cd=(ad+bd)+cd=(ad+bd)+cd=ad+bd+cd.
459. Векторы а и b перпендикулярны к вектору с, ab= 120°, |а| = |b| = |с| = 1. Вычислите: а) скалярные произведения (а+b+с) (2b) и (а — b+с)(а — с); б) |а — b| и |a+b-c|
Глава V. Метод координат в пространстве. § 2. Скалярное произведение векторов → номер 459 а) Б) Где по теореме косинусов Следовательно,
460. Докажите, что координаты ненулевого вектора в прямоугольной системе координат равны {|a|cosφ1; |a|cosφ2; |a|cosφ3}, где φ1=a^i, φ2=a^j, φ3=a^k
Глава V. Метод координат в пространстве. § 2. Скалярное произведение векторов → номер 460 Решение. Если вектор a имеет координаты {x; у, z}, то a = xi+yj+zk. Умножив это равенство скалярно на i и используя свойства скалярного произведения, получим ai = (xi+yj+zk) i = x (ii)+y (ji)+z(ki). …
Подробнее…
461. Все ребра тетраэдра ABCD равны друг другу. Точки М и N — середины ребер AD и ВС. Докажите, что MN AD = MN ВС = 0
Глава V. Метод координат в пространстве. § 2. Скалярное произведение векторов → номер 461 Пусть Выразим MN и BC через a, b и c. Т. к. | c |=| b | по условию; Т. к.
462. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AA1=AB = AD=1, ∠DAB = 60°, ∠A1AD=∠A1AB = 90°. Вычислите: a) BA-D1C1; б) BC1-D1B; в) AC1-AC1; г) |DB1|; д) |A1C|; e) cos (DA1^D1B); ж) cos (AC1^DB1)
Глава V. Метод координат в пространстве. § 2. Скалярное произведение векторов → номер 462 462. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AA1=AB = AD=1, ∠DAB = 60°, ∠A1AD=∠A1AB = 90°. Вычислите: a) BA⋅D1C1; б) BC1⋅D1B; в) AC1⋅AC1; г) |DB1|; д) |A1C|; e) cos (DA1^D1B); ж) cos (AC1^DB1). Воспользуемся свойством параллелепипеда. …
Подробнее…
463. В тетраэдре ABCD противоположные ребра AD и ВС, а также BD и АС перпендикулярны. Докажите, что противоположные ребра CD и АВ также перпендикулярны
Глава V. Метод координат в пространстве. § 2. Скалярное произведение векторов → номер 463 Решение. Введем векторы a = DA, b = DB, c = DC (рис. 131). Тогда АВ = b — а, АС = с — а, ВС = с —b. По условию AD⊥ВС и …
Подробнее…