134. Докажите, что все прямые, проходящие через данную точку М прямой а и перпендикулярные к этой прямой, лежат в плоскости, проходящей через точку М и перпендикулярной к прямой а

Глава II Перпендикулярность прямых и плоскостей. §1 Перпендикулярность прямой и плоскости → номер 134

Дано:

Решение:

Т. е. b1 и b2 пересекаются.

Из вышеперечисленных фактов следует, что по признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая а перпендикулярна α. Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом единственную, следовательно, любая прямая bn, проходящая через т. М и перпендикулярная к а, лежит в α.

Предположим bn ⊄ α.

То через b2 и bn можно провести плоскость γ и:

Следовательно, через т. М проходит сразу две плоскости α и γ ⊥ а, а через любую точку пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная данной прямой. Значит, наше предположение неверно и bn ⊂ а.

Что и требовалось доказать.