Глава III Многогранники. Дополнительные задачи → номер 293 293. В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 диагонали B1D и D1B взаимно перпендикулярны. Докажите, что угол между диагоналями А1С и B1D призмы равен 60°.
Заметим, что ВВ1D1D — прямоугольник. а так как диагонали перпендикулярны, то это квадрат.
Пусть АВ = а. Тогда
Поэтому
Рассмотрим прямоугольник А1В1СD:
Тогда
Но диагонали точкой пересечения делятся пополам, поэтому А1О = В1О — а, где О — точка пересечения диагоналей А1С и B1D прямоугольника A1B1CD. Поэтому в ΔA1OB все стороны равны а, поэтому ∠AОВ = 60°, что и требовалось доказать.